אקסלומדע'ס פרק 26 ▪︎ מינימליזם, פונקציית SUMPRODUCT ומה שביניהם ▪︎ "הפוך בה והפוך בה - דכולא בה"

תמונת מקור - Leonardo AI

אפתח את המאמר במילי דאורייתא:

בתלמוד ירושלמי (מסכת סוטה פרק ה' הלכה ג') מסופר בגמרא:

כְּהָדָא רֵישׁ גָּלוּתָא אִיטְלַק עִילּוֹי (נזרק עליו, כלומר הוטל עליו מס מהמלכות) חַד טְרִיקְלִין אַרְבָּעִין עַל אַרְבָּעִין דִּימַלִּינֵיהּ חִיטִּין.(למלא חדר 40 אמה על ארבעים אמה בחיטים.)

אָתָא לְגַבֵּי רַב הוּנָא.(ריש גלותא בא לפני רב הונא לקבל את עצתו)

אָמַר לֵיהּ. פַּייְסוֹן דְּיִסְבּוֹן מִינָּךְ עֶשְׂרִין עַל עֶשְׂרִין כְּדוֹן. וְעֶשְׂרִין עַל עֶשְׂרִין בָּתָר זְמָן.
(אמר לו רב הונא. לך ופייס אותם ותאמר להם שקשה לך ליתן הכול בפעם אחת, ולכן עכשיו תיתן להם חדר שמידותיו 20*20 אמה, ולאחר זמן תיתן עוד מלוא חדר שמידותיו 20*20 אמה).

וְאַתְּ מִיתֲגָר פַּלְגָּא.(וכך אתה מרוויח חצי, כלומר חצי מהמס המקורי).

עד כאן לשון הירושלמי.

אין ספק בידיעתם הרחבה של חז"ל הקדושים בחוכמת המתמטיקה והגיאומטריה, ועל כך כתבתי בתחילת המאמר בלינק כאן.

מעשה זה הוא אחת הדוגמאות הנפלאות לכך.

אני אסביר את החשבון כאן, ובסיומו של המסע תראו כמה זה נפלא ומדויק…

ובכן. בגאומטריה, ריבוע הוא (מקרה פרטי של) מרובע משוכלל.

בריבוע יש ארבע צלעות שוות וארבע זוויות שוות. זוויות אלה הן זוויות ישרות.

בריבוע דו ממדי אם מעוניינים לחשב את שטח הריבוע אז:

כאשר ידועה לנו מידת האורך או הרוחב, ניתן לחשב זאת על ידי המשוואה - אורך * רוחב. (S = A * B)
(ובמילים אחרות, אורך/רוחב בריבוע -דהיינו בחזקת 2).

כאשר ידועה לנו מידת אלכסונו של הריבוע ניתן לחשב זאת על ידי המשוואה של מכפלת האלכסונים חלקי 2.

במעשה הנ"ל שהובא בתלמוד ירושלמי מצוינים המידות 40 * 40 סאה.

סאה - זו מידת נפח בלשונם של חז"ל.

נקודה חשובה:
לשם הנוחות אני אשתמש כמשל בלבד עם מידות של מטר/ים. אלו יחידות שמוכרים לנו יותר ביום יום.
ניתן כמובן להמיר את היחידות (מטר קוב) ליחידות סאה.

היחס בתוצאות הוא אחד, ונשמר "איך שלא נסתכל על זה"…

אם נדייק בלשון התלמוד הירושלמי אז כתוב "דִּימַלִּינֵיהּ חִיטִּין".

ניתן להסביר (בדוחק ) שהכוונה לפזר על רצפת החדר בגובה מינימלי חיטים.
ובהנחה שלצורך החישוב יש להתעלם / להזניח את הגובה שיש לנו כאן.

והתוצאה היא = 1600.

לו היינו מבצעים זאת ביחידות מטרים (כמשל בלבד כפי שהקדמתי לעיל) התוצאה הייתה 1600 מטר רבוע.

ומה הייתה עצתו של רב הונא?

לומר למלכות (ולפייס אותם) שכעת יינתן להם חדר של 20*20 ולאחר זמן יינתן חדר נוסף של 20*20.

האם התוצאות שוות?

זו שאלה מבלבלת…תודו על כך…

אנשי המס ככל הנראה לא היו "הכי טובים" / מבריקים בענף הגיאומטריה…

ולכן הם חשבו שמדובר באותה תוצאה וא"כ ריש גלותא שילם "עד השקל האחרון" (כמו שאומרים)...

כעת בואו נראה מה התוצאות האמיתיות…

אם נחשב 20 * 20 התוצאה היא 400.

ועוד פעם נחשב 20 * 20 וגם כאן התוצאה היא 400.

וכמה זה ביחד? 800 !!!

וכעת שוב נחשב 40 * 40 והתוצאה היא 1600!!!

800 זה בדיוק חצי מ- 1600

על כך אמר רב הונא בחוכמתו - "וְאַתְּ מִיתֲגָר פַּלְגָּא".

הרווח פה הוא אכן חצי מהקנס המקורי…

הלאה נתקדם שלב…

גם אם נפרש כפי "הפשט" שמשתמע מדברי הירושלמי ונסביר כאן שמדובר בריבוע תלת ממדי
והכוונה שיתמלא בחיטים עד התקרה…

עדיין…היחס כאן ישמר ורווח יהיה בחצי…

אני אסביר מדוע?

אנשי המס (מטעם המלכות) אולי לא היו מחוננים במיוחד בתחום הגיאומטריה…

אבל הם לא היו בנוסף לכך גם עִיוְורִים…

את גובה החדר קשה לפספס…ולכן היה להם קל להבחין לו היה מביא להם (ריש גלותא) מחצית מגובה החדר (המקורי…ההוא שעליו התכוונו אנשי המס) מלא בחיטים.

כלומר גובה 20 במקום גובה 40.

(הגובה הוא 40 בהנחה שמדובר פה בחדר ריבועי שכל צלעותיו שוות…אבל למי שיעמיק יבין שזה לא באמת משנה לנו מה היה גובהו של החדר כי אין לכך נפקא מינה - היחס בתוצאות נשמר כך או כך)

וכעת בואו נחשב ביחד…

אבל לפני כן…אזכיר כי למדידת נפח של ריבוע המשוואה היא - V=A*B*H.

כלומר אורך כפול רוחב כפול גובה.

40 * 40 * 40 = 64000 (ביחידות מטרים התוצאה היא "מטר קוב")

20 * 20 * 40 = 16000 (כפי שהסברתי לעיל הגובה נשאר 40…)

וכעת נחשב שוב 20 * 20 * 40 = 16000

16000 + 16000 = 32000.

32000 זה בדיוק החצי של (המס המקורי) 64000

מדויק להפליא!

לסיכום - בין אם נחשב ביחידות שטח ובין אם נחשב ביחידות נפח - הרווח שהיה לריש גלותא הוא מחצית בדיוק!

"וְאַתְּ מִיתֲגָר פַּלְגָּא".

אם תרצו סימולציה ויזואלית לכך, תראו את רצף התמונות המוצגות כאן (מצורפות גם בלינק להלן בגיליון "סימולציה")

הערה כללית - קנה מידה של כל קובייה הוא 20 מטר אורך, 20 מטר רוחב ו-20 מטר גובה.
תמונה 1:

כאשר הקוביות מונחות כך, המידות (נפח) הן 40×40×40 מטר.

תמונה 2:

קל להבחין בכך שהקוביות מסודרות זו על זו, וכך מתקבלת הקובייה בתמונה 1:

תמונה 3:

זו בדיוק הייתה עצתו של רב הונא "וְאַתְּ מִיתֲגָר פַּלְגָּא".

תמונה זו בהשוואה לתמונה 1 היא מחצית הנפח בדיוק…

כעת, בואו תראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…

שמעתם כבר / מכירים את פונקציית sumproduct באקסל/שיטס?

מהי בכלל פונקציית sumproduct?

זו באמת פונקציה נפלאה וגאונית שכדאי שתכירו.

תפקידה ומהותה של פונקציה זו היא - להחזיר את סכום המכפלות של טווחים או מערכים תואמים. כאשר פעולת ברירת המחדל היא כפל,
אך ניתן גם לבצע חיבור, חיסור וחילוק.

שמה של פונקציה זו מורה על תפקידה: sum = תוצאות פעולת החיבור, product = תוצאות פעולת הכפל.

הארגומנט הראשון array1: הוא חובה, בו מזינים את המערך הראשון שאת רכיביו אנו מעוניינים להכפיל ולאחר מכן לסכם.

הארגומנט השני ואילך [array2], [array3],... : אופציונליים, ניתן להזין עד 255 מערכים שונים, כלומר 255 ארגומנטים!

אחד היתרונות העיקרים בפונקציה זו הוא - מינימליזם.

תראו בצילום מסך שלפניכם (מתוך הגיליון המצורף להלן בלינק).

בדרך כלל, למי שחפץ לבצע חישוב שכר (חודשי) של שעות העבודה וקיימים ערכים בתאים של שעת כניסה ושעת יציאה, יהיה עליו להוסיף עמודת עזר נוספת ובה לחשב שעת יציאה פחות שעת כניסה כפול 24 * תעריף שכר לשעה.

וכפי המודגם בתא D4.

קוד:

=(C4-B4)*24*50

ולאחר מכן לסכם בתא נפרד את כל עמודת עזר זו על ידי פונקציית sum.
וכפי המודגם בתא A9.

קוד:

=SUM(D4:D5)

זו השיטה הקלאסית, המוכרת והידועה ביותר…

מה "הבעיה" כאן?

התשובה היא - עמודת עזר!

בואו תראו איך ניתן לבצע חישוב סופי (שכר חודשי) ללא עמודת עזר…כל זרת בעזרת פונקציית sumproduct הנפלאה.

זהו מבנה הפונקציה בתא A19

קוד:

=SUMPRODUCT(C15:C16-B15:B16)*24*50

אני אסביר את החישוב שהולך פה:

הפונקציה "מעמידה" את המערכים C15:C16 ו- B15:B16 זה לצד זה.
וכיון שיש כאן פעולת חיסור בין הטווחים, זו הפעולה הראשונית שהפונקציה עושה.
היא מבצעת פעולת חיסור תא כנגד תא שבכל שורה.

את כל תוצאות (החיסור) הפונקציה זוכרת וכביכול "רושמת אותן בצד של המחברת"

לאחר מכן הפונקציה מסכמת את כל התוצאות של פעולת החיסור. (ומכפילה *24 כפול תעריף שעה בודדת כלומר 50 ש"ח)

כלומר הפונקציה יודעת לייצר טבלת עזר "וירטואלית" מבלי שתהיה קיימת בפועל בגיליון…

כך טיבו של המינימליזם!

ראיתם? התוצאות אותן תוצאות, ומה הרווחנו כאן? "חיסכון" בעמודת עזר מיותרת…

זו גאונות!

וזה לא הכול… במאמרים הבאים בעזרת ה' תראו עוד ועוד מהגאונות של פונקציה זו.

כעת, אחזור שוב לחשבונות סביב המעשה שהובא בתלמוד ירושלמי- בו נפתח מאמר זה.

אם נרצה לבצע את החישובים הגיאומטריים של השטח/ נפח בעזרת האקסל/ שיטס, האם זה אפשרי?

נו, ברור שכן!

בצילום מסך שלפניכם שיטת החישוב היא במטר/ים.
וכפי שהקדמתי לעיל זה משל בלבד עם יחידות המוכרות לנו יותר בחיי היום יום….

תראו. תאי האקסל הם דו ממדים ולא תלת ממדים…
אך תנסו לדמיין גם גובה (לדוגמא בלבד) בתאים של הטווח E3:F4

קנה מידה של כל תא מטווח זה הוא 20 מטר אורך ו 20 מטר רוחב (ו-40 מטר גובה).

אני אסביר את שיטות החישוב בעזרת פונקציית sumproduct שהסברתי אודותיה לעיל לגבי החישוב לשטח, ואותה שיטת חישוב תקפה גם לחישוב נפח הריבוע.

זהו מבנה הפונקציה בתא A8

קוד:

=SUMPRODUCT(F3:F4,E3:E4)

כזכור, ברירת מחדל בפונקציה זו היא פעולת כפל בין העמודות שהוזנו בתוך מערך התאים.

ולכן כאן מתבצע חישוב של:
מכפלה של - תא E3 * F3
ולאחר מכן מכפלה של תא F3 * F4

ולאחר מכן סיכום של שתי תוצאות המכפלות.

400+400 = 800.

זו הייתה למעשה עצתו של רב הונא - למלא חדר 20*20 עכשיו, ולאחר זמן למלא עוד חדר 20*20.

וכעת נשאלת השאלה איך לחשב את מידת השטח המקורית בעזרת פונקציה זו?

אז שימו לב למבנה הפונקציה בתא A9.

קוד:

=SUMPRODUCT(SUM(F3:F4),SUM(E3:E4))

פונקציית sum נוספה בכל טווח וטווח, על מנת "לומר" לפונקציה שאין לנו כאן שתי שורות לחשב אלא שורה אחת בלבד.

תאים F3 ו- F4 "מצומצמים" "כביכול" בעזרת פונקציית sum -לתא אחד בלבד בעמודה F שסכומו הוא = 40.

וכנ"ל לגבי התאים E3 ו- E4.

בשורה התחתונה, הפונקציה מחשבת תא אחד * תא אחד - 40*40 והתוצאה היא 1600.

וגם כאן הסכום 800 הוא מחציתו של הסכום 1600.

לזה התכוון רב הונא - "וְאַתְּ מִיתֲגָר פַּלְגָּא"

כך כך נפלא!

כל כך מדויק!

"הֲפֹךְ בָּהּ וַהֲפֹךְ בַּהּ,דְּכֹלָּא בַּהּ" (מסכת אבות ה.כ"ב)

וזהו המסר העיקרי והכי חשוב במסגרת מאמר זה!

לינק לגיליון שיטס הכולל הסבר ודוגמאות אודות פונקציית sumproduct והמעשה דריש גלותא -מצורף כאן.