אקסלומדע'ס פרק 49 ▪︎ שְׁנַיִים, שׁוֹנוּת ומה שביניהם ▪︎ "השניים תחילת כל מספר ומחברתו כמו כפלו בעצמו ולא כן האחד" (ראב"ע)

שְׁנַיִים מי יודע?

שְׁנַיִים אני יודע…

נכון, כולנו יודעים ומכירים כבר מילדותינו את המספר 2,

כן, זהו אותו מספר טבעי הבא אחרי 1 ולפני 3…

אך לא זו בלבד, המספר 2 מופיע לאחר האחד להורות כי האחד הוא סיבת הופעתו של השניים, הראשון מחולל את השני - רק ברגע שיש ראשון מתאפשרת הופעתו של השני,

שניים מלשון "שׁוֹנֶה וחוזר" משום שעצמו של מספר ה 2 מורכב מאחדים בלבד 2 = 1+1
כלומר, אמנם יש כאן שינון וחזרה על הערך 1 שקודם לו, אך מאידך יש כאן מציאות של "מספר חדש".

החזרה והשינון בלימוד התורה מהווים אבן יסוד להצלחה בתורה, וגם כאן בכל שינון וחזרה על החומר "הקודם" מתחדשים חידושים חדשים "ופנים חדשות באו כאן"...

שניים הוא גם מלשון שׁוֹנוֹת, השני מהווה אופציה אחרת לראשון, כלומר הראשון הוא האופציה הראשונה והשני הוא האופציה השונה - אַנְטִיתֵזָה לַתֵּזָה…

וכפי שהגדיר זאת רבינו המהר"ל מפראג זצ"ל בספרו "גבורות ה" (פרק ט):
"וזה מפני שהשנים נקראו שנים מפני השניות, וכל שניות אין בו אחדות."

ובדרוש על התורה (עמוד מ"א) כתב וזה לשונו:

"כל שיש לו דבר שני לו אזי אותו דבר שהוא שני לו אי אפשר שלא ישתנה מן הראשון מצד מה, שהרי זהו ראשון וזה שני והוא הוא לשון שני בעצמו.
ואם כן אצל השני שהוא משונה וכו'"

נפלא מאוד!

ואם בשונות עסקינן, נלמד יחד את דבריו של רבינו אברהם אבן עזרא ז"ל בספרו הנפלא "ספר האחד" (הספר זמין לקריאה ולהורדה בלינק כאן באדיבות אתר "היברובוקס") על אופיו השונה והייחודי של המספר 2 הבולט בתכונותיו מבין כל המספרים הטבעיים (שבעולם).

וכך הוא לשונו:

"השניים תחילת כל מספר...ומחברתו כמו כפלו בעצמו...ולא כן האחד"

אני אסביר:

כפלו - מלשון כפל, כלומר פעולת הכפל.

מחברתו - מלשון חיבור, כלומר פעולת החיבור.

כלפי המספר 1:

2 = 1+1

1 = 1*1

אנו מוצאים כי במספר 1 - התוצאה בפעולת החיבור (בעצמו) גדולה מהתוצאה בפעולת כפל(בעצמו).

כלפי המספר 3:

6 = 3+3

9 = 3*3

במספר 3 התוצאות הפוכות, כלומר שהתוצאה בפעולת החיבור (בעצמו) קטנה מהתוצאה בפעולת הכפל (בעצמו).

הפער הולך וגדל עם הגדלתו של המספר הטבעי.

כלפי המספר 3 הפער בין התוצאות הוא 3 (3 = 9-6)

ומה קורה במספר 4 למשל?

התשובה היא שהפער גדל עוד יותר…שהרי:

8 = 4+4

16 = 4*4

8 = 16-8

הפער כאן גדל מ 3 ל 8!

אך ישנו מספר אחד ומיוחד שבו תוצאות פעולת החיבור (בעצמו) ופעולת הכפל (בעצמו) שוות.

זהו המספר - 2

רוצים לבדוק? קדימה…

4 = 2+2

4 = 2*2

סה טו!

אכן, מספר שניים הוא גם שונה ומשונה מכל המספרים שבעולם…

כעת בואו ותראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…

אם תרצו לערוך בדיקה שכזו באקסל/שיטס - ואני מדבר על "הרצה" של כל המספרים הטבעיים אחד לאחד ולבדוק את תוצאות פעולת החיבור (כל מספר בעצמו) ופעולת הכפל (כל מספר בעצמו) - זה כנגד זה.
ו…אז להחזיר את אותו המספר (התשובה היא - מספר 2 אבל ששש…אל תגלו מעכשיו לאקסל/שיטס) שהתוצאות של פעולת הכפל והחיבור זהות…

האם זה אפשרי?

בוודאי ובטח שכן!

בואו נצא לדרך…

לפניכם צילום מסך (מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן) ובו מתואר שלב אחרי שלב הפתרון לשאלה הנ"ל.



ובכן, כולכם מכירים כבר את פונקציית sequence הנפלאה (הסברתי אודותיה במאמר בלינק כאן),

פונקציה זו היא "המפתח" העיקרי כאן…

אם חשבתם עד עתה שפונקציה זו היא גאונית - אז תדעו שהיא סופר גאונית…וזו לא קלישאה ולא גוזמא…

שלב 1:

זהו מבנה הפונקציה בתא A2:


בגיליון זה נערכת בדיקה על המספרים מ 1 עד 10 ולא יותר, פשוט רק לשבר את האוזן לתהליך ולחשבון שהולך פה.

ולמען האמת שאין צורך לערוך בדיקה על המספרים מעל המספר 10, ויותר מכך, ניתן לעצור את הבדיקה כבר לאחר המספר 3, כי כאמור לעיל ממספר זה ואילך הפער (בין תוצאת הכפל והחיבור בעצמו) הולך וגדל וזהו קל וחומר "שאין עליו תשובה"...

אך "לרווחא דמילתא" הודגמו כאן התוצאות עד המספר 10.

פונקציית sequence יוצרת בקלות סדרת מספרים המתחילה ב 1 ובדילוג 1 (כברירת המחדל שלה כלפי הארגומנטים 3 - 4) כמערך אנכי באותה עמודה.

שלב 2:

זהו מבנה הפונקציה בתא B2:


להבין את זה, תדמיינו שני מגדלים בני עשר קומות שווים וזהים בדיוק "במראה ובקומה" המונחים על גבי הקרקע. ואז אנו מבצעים פעולת חיבור בין קומה ראשונה (1) של מגדל א' לבין קומה ראשונה (1) של מגדל ב' וכן הלאה…

זה בדיוק מה שקורה כאן - פעולת חיבור בין שני מערכים שפונקציות sequence יוצרות לנו.

(רק שכאן מדובר על מגדלים "הפוכים", קומה 1 של כל פונקציה - נמצאת בשורה הכי עליונה של המערך…תזכרו את הפרט הזה.)

הארה קטנה:
מסיבות כאלו ואחרות, כאשר מדובר בגיליון שיטס יש לעטוף את פונקציות sequence בפונקציית arrayformula.

שלב 3:

זהו מבנה הפונקציה בתא C2:


מבנה הפונקציות די זהה למבנה בשלב 2, אך הבדל אחד (מאוד עיקרי) ביניהם - הסימון המתמטי.

כאן מתבצעת הכפלה בין המערכים ולא פעולת חיבור.

שלב 4:

וכעת, מה נותר לנו עוד לבדוק?

אנו רוצים לבדוק בכל שורה האם תוצאת החיבור בעצמו שווה לפעולת הכפל בעצמו,

אז הנה מבנה פונקציית filter בתא D2:


נפלא ומדויק!

ו-ע-כ-ש-י-ו הנה ההפתעה…



אז לאחר שהובהרו כל השלבים לפתרון - שלב אחרי שלב תוכלו לראות איך כל השלבים סדורים, מקופלים ועומדים זה בתוך זה בתא אחד בלבד!!!

זהו מבנה הפונקציות בתא B1:


וואו…

כל כך נפלא!

כל כך גאוני!

וכן, אתם צודקים לגמרי…הרחקתי לכת וערכתי בדיקה בין 2 מערכים שכל אחד כולל "הרצה" של סדרת מספרים בת 1000000 (מיליון!) ספרות…

אין צורך בכך כאמור לעיל…ואם תרצו (סתם ככה…) להוסיף בנוסחה עוד כמה אפסים שתרצו - הרשות בידכם…

התוצאה לא תשתנה!

המספר 2 הוא היחיד והמיוחד, השונה והמשונה, הוא לבדו יוחזר בתא זה!


לסיום, הן אמת שיש מקום להתבונן ולשאול במה שביאר רבינו האבן עזרא ז"ל (וכפי שנתבאר לעיל) על שונות זו שמתקיימת במספר 2 דווקא - מה רמז וטעם יש בה ,הלא דבר הוא…?

דהנה כלל המספרים הם מכלל הנבראים,
(כך הוא הלשון "בספר יצירה" פרק א' משנה א' "בשלשים ושתים נתיבות פליאות חכמה חקק ה' צבקות אלקי ישראל אלקים חיים ומלך עולם אל שדי רחום וחנון רם ונשא שוכן עד וקדוש שמו, וברא את עולמו בשלשה ספרים. בְּסָפַר, סְפַר וְסִפּוּר."

ואע"פ שפירושה של משנה זו הוא רזין עילאין וסתרי תורה, מכל מקום פשוטם של דברים הם - שהקב"ה ברא עולמו בצירופי אותיות של כ"ב אותיות.
ולשון "בְּסָפַר, סְפַר וְסִפּוּר" מהותו ועניינו הוא להגביל, לתחום, להגדיר,

סָפַר דהיינו הגבוליות והמידה שיש במניין המספרים.

סְפַר כמו עיר ספר, כלומר בקצה התחום/הגבול.

ואכן בספר דברי הימים ב.טז מופיעה המילה סְפַר במשמעות של מספר ומנין.
"וַיִּסְפֹּר שְׁלֹמֹה כָּל הָאֲנָשִׁים הַגֵּירִים אֲשֶׁר בְּאֶרֶץ יִשְׂרָאֵל אַחֲרֵי הַסְּפָר אֲשֶׁר סְפָרָם דָּוִיד אָבִיו וַיִּמָּצְאוּ מֵאָה וַחֲמִשִּׁים אֶלֶף וּשְׁלֹשֶׁת אֲלָפִים וְשֵׁשׁ מֵאוֹת"

וְסִפּוּר שנקרא כך על שם "גבולותיו" דהיינו תוכן הטקסט שבו, כל סיפור קצר /ארוך כולל את השלבים העיקריים האלו:
פתיחה-אקספוזיציה, תוך הסיפור וסיום.
לולא כן, היה זה אוסף רשימות של נתונים אך לא סיפור.

וכך ביאר רבי יהודה הלוי ז"ל בספרו "הכוזרי" מאמר רביעי סימן כ"ה:
"רְצוֹנוֹ בִסְפָר, הַשִּׁעוּר וְהַפִּלּוּס בַּגּוּפִים הַנִּבְרָאִים, כִּי הַשִּׁעוּר עַד שֶׁיִּהְיֶה הַגּוּף מְסֻדָּר וְעָרוּךְ רָאוּי לְמַה שֶּׁנִבְרָא לוֹ, לֹא יִהְיֶה כִּי אִם בַּמִּנְיָן. וְהַמִּדָּה וְהַמְּשׂוֹרָה וְהַמִּשְׁקָל,וְעֶרֶךְ הַתְּנוּעוֹת וְסִדּוּר הַמּוּסִיקָה הַכֹּל בַּמִּנְיָן, רְצוֹנִי לוֹמַר - סְפָר, כַּאֲשֶׁר אַתָּה רוֹאֶה הַבּוֹנֶה לֹא יֵצֵא מִתַּחַת יָדוֹ בַּיִת עַד שֶׁקָּדַם צִיּוּרוֹ בְּנַפְשׁוֹ…"

פילוסופית - כל מספר מעצם מהותו הוא מוגבל, מספר 2 לדוגמא הוא "רק" מספר 2 ולא 3 וכו',כך שמוכרח הוא להיות נברא.

המספרים, המתמטיקה ומה שביניהם היא בגבולות התודעה האנושית בלבד. תחשבו על זה…

האדם כנברא מוגבל תופס את המספר בהקשר כמותי כלומר מוגבל כמו תודעת האדם,

יוצא מכלל זה אמונתנו ביחוד השם יתברך שאנו אומרים בכל יום "שמע ישראל ה' אלוקינו ה' אחד".

מהותו של אחד זה (הבורא יתעלה שמו) הוא מעבר לתפישת האדם וכל נברא, וכל השגתינו הוא בדרך השלילה כפי שביאר הרמב"ם ז"ל:
"אלוה זה אחד הוא ואינו שנים ולא יתר על שנים. אלא אחד.
שאין כיחודו אחד מן האחדים הנמצאים בעולם. לא אחד כמין שהוא כולל אחדים הרבה. ולא אחד כגוף שהוא נחלק למחלקות ולקצוות. אלא יחוד שאין יחוד אחר כמותו בעולם…"
והבאתי עניין זה באריכות במאמר בלינק כאן עיין שם.

אחד זה לא כאחדים המנויים חס וחלילה…וחובה עלינו להאמין בכך באמונה פשוטה ולשנן זאת תמיד.)

ואם כן, מה אנו למדים ממשפטיו וחוקותיו של המספר 2?
ומדוע נשתנה מספר זה מכל המספרים כולם?

ולולי דמסתפינא חשבתי לבאר זאת בס"ד ותחילה אקדים ואומר, דהנה אם נתבונן במספרי "היסוד" מאחד עד עשר נמצא שינוי לשוני במספר 2 דווקא. שנוסף בו "מם הריבוי" בסופו- שניים/שתיים.

וכך הוא לשונו של המהר"ל מפראג בספרו "נצח ישראל" (פרק מ"ה):
"ולכך שניים יש בו ריבוי ואין בו אחדות, אחר שהם נגד שני הפכים אשר לא יתאחדו…"

כי מספר זה הוא ראש למספרים "הזוגיים" ולכן הוטבע בשמו מם סופית להורות על ריבוי כמו שאמרו רבותינו ז"ל בכל מקום "מיעוט רבים - שניים".

אז אפרופו ריבוי, הנה כמה מילים בתחום "הביולוגיה המולקולרית" לתהליך שנקרא - "מיטוזה" (Mitosis)

מהי המיטוזה?

הידעתם? גוף אדם בוגר מכיל מאה טריליון של תאים!!!
אך כל גוף באשר הוא התחיל מתא אחד בודד - "הזיגוטה".

על מנת לגדול, להתפתח ולתקן/לחדש רקמות (מה שנקרא "רגנרציה") יש צורך בחלוקות תאים.

ביצורים "אאוקריוטים" תהליך זה מתבצע בעיקר הודות לתהליך המיטוזה.

בתהליך זה במחזור התא - מתחלק גרעין התא לשני גרעינים זהים גנטית לגרעין האם ובכל אחד מהם אותו מספר כרומוזומים כבתא האם.

לאחר המיטוזה מתרחשת בדרך כלל התחלקות הציטופלסמה, ולבסוף מתחלק התא כולו לשני תאי בת (נקראים גם "תאי צאצא") זהים לחלוטין לתא האם.

(כלל 4 שלבים אלו נקראים בספרות המדעית G1 > S > G2 > M
לקריאה נוספת ראו כאן וכאן )

אם נסכם זאת, בחלוקה ראשונה "היחס" (זהו מושג מתמטי המתאר את יחסי הכוחות במאגר מסוים, לקריאה נוספת ראו כאן ובהזדמנות בל"נ אכתוב על כך באריכות, ועוד חזון למועד…) בין תאי הבת לתא האם הוא 2:1

בחלוקה השניה "היחס" בין תאי הבת לשני תאי האם (שנוצרו מחלוקה הראשונה) הוא 4:2

ואם נערוך "צמצום" לשבר 4:2 (כמו שלמדנו בביה"ס היסודי) נקבל 2:1

במתמטיקה - כאשר קיימים שני יחסים שווים זה אומר שקיימת כאן "פרופורציה".

בתאים "אאוקריוטים", קיימת מערכת שלמה שנקראת "מערכת בקרת מחזור התא" (Cell Cycle Control System) המורכבת "מחלבוני רגולציה" ואחראית על ניהול תקין של מחזור התא.

כל זאת בחסדו ובטובו של הקב"ה שמביט ומשגיח בעינא פקיחא על כל נברא ונברא ועל כל תא ותא שהכל יתנהל כשורה בעת חלוקתו.

כאשר ישנה "שגיאה" במיטוזה נוצרים שלושה או יותר תאי בת (במקום שניים,מה שמכונה בספרות המדעית מיטוזה "טריפולרית" ומיטוזה "רב קוטבית".)

הופ…זו כבר בעיה…

אבל הקב"ה ברוב רחמיו וחסדיו "הקדים תרופה למכה" וברא מנגנון ומערך לוגיסטי שלם שנקרא "אפופטוזיס"

(בקצרה, זהו התהליך שבו תא ממית את עצמו באופן מתוכנן ומסודר. במסגרת התהליך הזה התא עצמו או תא דם לבן מסוג Killer T cell, מפעיל סדרה של אותות שמובילים לפירוק החלבונים וה-DNA של התא. בעקבות זאת, התא מתכווץ ומפורק, ולבסוף השאריות שלו נבלעות על ידי תאי "מקרופאגים")

"מה רבו מעשיך ה' - כולם בחכמה עשית…"

והקב"ה "בִּרְצוֹתוֹ חוֹגֵג וּבִרְצוֹתוֹ מְמוֹגֵג" (הלשון מתוך פיוט "כי הנה כחומר" הנאמר בקהילות בני אשכנז במעריב של יום הכיפורים) וברגע קָטֹן של "הסתר פנים" נוצרים שגיאות כאלו במחזור התא שתוצאותיהן "מוטציות גנטיות" ומחלות קשות בר מינן.

והאדם, שבכל רגע נתון נחלקים בגופו כמות עצומה של תאים בהשגחה עליונה ללא שגיאות ובאיזון מושלם אינו יודע ומכיר מכל המעשה בקרבו…
הוא שאמר רבי אלעזר בתלמודא (בבלי - מסכת נידה דף ל"א ע"א):
"מאי דכתיב: עושה נפלאות לבדו וברוך שם כבודו לעולם? אפילו בעל הנס אינו מכיר בניסו"

ולאחר כל הקדמה זו מיושבת השאלה לעיל, כי הבורא יתברך הוא שברא את מציאות המספר והוא החונן לאדם דעת להכיר את תכונותיו המתמטיות של המספר 2,

ותכונות אלו שבמספר זה (2) שנרמז בו כח "הריבוי" - דווקא בו, יהיו תוצאות הריבוי בכל צד ואופן שיהיה הן בכפל (בעצמו) והן בחיבור (בעצמו) שוות ל 4. ואם "בדיני" יחס ופרופורציה עסקינן, המשמעות היא שהיחס כאן פרופורציונאלי ליחס 2:1.

ואותו יחס זה שנשמר בהשגחה תמידית בתאי הגוף של האדם בתהליך המיטוזי ("בכח" הריבוי) הם מידת טובו וחסדו האינסופי של הבורא יתברך שמשמר יחס זה מכל פגע ומחלה לאדם עצמו…

כי כך הוא "הסדר הישר" לטובת האדם שיהא בריא ושלם שיוכל לעבוד את בוראו…

"לֹא תֹהוּ בְרָאָהּ לָשֶׁבֶת יְצָרָהּ…"(ישעיהו מ"ה.י"ח)

הוּא אֲשֶׁר דִּבֶּר מאור עיני ישראל רבינו המהר"ל מפראג זצ"ל בספרו "נתיבות עולם" (נתיב התורה פרק א') על דברי הש"ס (מסכת עירובין דף נ"ד ע"א) "חש בראשו יעסוק בתורה שנאמר כי לוית חן הן לראשך…חש בכל גופו יעסוק בתורה שנאמר ולכל בשרו מרפא"
וכך ביאר המהר"ל:
"ולכך אמר אם יש לאדם חולה(הכוונה חולי) בגופו - שכל אשר הוא חולה יוצא מן הסדר, יעסוק בתורה שהיא סדר העולם. ואז האדם אשר היה מקבל חולי שהוא שינוי (הן בסימפטומים החיצוניים והן בשינויים הפיזיולוגים /הפתולוגים) יחזור אל הסדר (על ידי התורה הקדושה שמהותה "סדר" העולם,בה איברי עלמא ובה תלויים ועומדים כל העולמות כולם כידוע) שהוא בריאתו(דהיינו בריאותו התקינה)"

ודברי פי חכם חן…

ולא זו בלבד, אלא שההשגחה האלוקית משגיחה על תאי הגוף שתהא חלוקתם במידה ובמשורה המדויקת ביותר ולא יתחלקו ללא הרף ("באופן פראי" ולא מסודר…)

ואם במספר 2 עסקינן יתבארו הדברים יותר, כי הנה ידוע בתורת הסוד שששת הספירות חג"ת נה"י (חסד גבורה תפארת נצח הוד ויסוד) הן הנהגת "העולם הזה" שקיים שית אלפי שני, וביום השני לבריאת העולם הגילוי של ספירת הגבורה שמטרתה להגביל ולצמצם את מידת האור- השפע האלוקי.

ומידה זו יוצאת מתוך מידת החסד כי הגבלה זו היא לטובת הברואים.

וכתב רש"י ז"ל בבראשית (א.ו) "יְהִי רָקִיעַ - יתחזק הרקיע שאע"פ שנבראו שמים ביום הראשון עדיין לחים היו וקרשו בשני מגערת הקב"ה באומרו יהי רקיע וזה שכתוב עַמּוּדֵי שָׁמַיִם יְרוֹפָפוּ כל יום ראשון ובשני וְיִתְמְהוּ מִגַּעֲרָתוֹ כאדם שמשתומם ועומד מגערת המאיים עליו"

ובילקוט שמעוני (לך לך רמז פ"א) איתא: "אני אל שדי. אני הוא שאמרתי לעולמי די, שאלמלא שאמרתי לשמים וארץ די, עד עכשיו היו מותחין והולכין"

אמירתו וגערתו של הקב"ה הייתה ביום השני לבריאת העולם שבו מאירה גילוי אור הגבורה.

הבורא גער ברקיע שלא ימתח עוד!

והקב"ה בהשגחתו התמידית "גוער" בכל תא ותא באדם ואומר לו דַּ-י /מספיק (enough בלע"ז) מלהתחלק עוד…

וכל זה "מִפְלְאוֹת תְּמִים דֵּעִים" (לשון הפסוק באיוב ל"ז. ט"ז) יתעלה שמו…

והנה עוד ממתק קטן כהשלמה לכל הנ"ל…

על-פי חכמי הסוד האות מ"ם הסתומה (כמו זו המופיעה בסיומה של המילה שניים) הסגורה מכל צדדיה כריבוע ללא פתח, מרמזת לספירת הגבורה, היא מידת הדין והגבורה הסוגרת ומבקשת לעכב את השפע מלרדת לעולם.

ובזה מבואר מדוע בפסוק המדבר על חזקיהו המלך, שלא נעשה משיח והתעכבה הגאולה, בגלל טענת מידת הדין שלא אמר שירה כשנעשו לו ניסים, מופיעה אות מ' סתומה באמצע מילה?(זו הפעם היחידה בכל התנ"ך…)

וכך הןא לשון הפסוק ודברי חז"ל בתלמוד:
"לםרבה המשרה ולשלום אין קץ על כסא דוד ועל ממלכתו להכין אתה ולסעדה במשפט ובצדקה מעתה ועד עולם קנאת יי צבאות תעשה זאת" (ישעיהו ט.ו)

"אמר רבי תנחום, דרש בר קפרא בציפורי: מפני מה כל מ"ם שבאמצע תיבה פתוח, וזה סתום? ביקש הקב"ה לעשות חזקיהו משיח, וסנחריב גוג ומגוג.
אמרה מידת הדין לפני הקדוש ברוך הוא: ריבונו של עולם! ומה דוד מלך ישראל שאמר כמה שירות ותשבחות לפניך לא עשיתו משיח, חזקיה שעשית לו כל הניסים הללו ולא אמר שירה לפניך, תעשהו משיח? לכך נסתתם".
(תלמוד בבלי מסכת סנהדרין דף צ"ד ע"א)

כלומר, לכן נסתמה האות מ', לרמז על מידת הדין שהמ"ם הסתומה מורה עליה, ואשר פגעה כאן בחזקיהו.

נפלא מאוד - כפתור ופרח!

מקווה שנהניתם…

לינק לגיליון שיטס הכולל ביאור לדברי רבינו האבן עזרא ז"ל שנתבארו לעיל - מצורף כאן.