אקסלומדע'ס פרק 54 ▪︎ כמה מילים על הגדרת מספר זוגי ואי זוגי במתמטיקה ▪︎ ועוד כמה מילים על פונקציות EVEN & ISEVEN באקסל/גוגל שיטס...

"ומותר לשחוק בעצמות שקורין טשי"ך אף על פי שמשמיעים קול הואיל ואינן מכוונין לשיר.וכל זה בשוחק דרך צחוק בעלמא, אבל בשוחק כדי להרוויח אסור אפילו שוחק בתם ובחסר דהוי כמקח וממכר וכו'…"
(רבינו הרמ"א ז"ל חלק אורח חיים סימן של"ח ס"ה)

"ואולי כפי הנהוג עתה שאין מתחייבין בהצחוק הזה בשום דבר אלא במה שצוחקין כמו…בצחוק תם וחסר שנוטל כמה אגוזים בידו וסותם היד ושואל לחבירו תם או חסר ומשיב תם או משיב חסר. ופותח את ידו ומונים. אם הוא כפי מה שאמר השני זוכה השני בהם, ואם ההיפך על השני ליתן לו כך אגוזים כפי מה שהיה בידו וכו'..."
(ערוך השולחן - אורח חיים סימן של"ח סי"ג)

המשחק הזה "תם וחסר" שהוזכר בספרי הפוסקים מוכר לכל אחד מכם.
כולנו שיחקנו בו - אז בהיותנו ילדים קטנים…

שמו היותר מוכר הוא "זוּג או פֶרֶט" או בגרסה אחרת "זוג או פֶרֶד".

נ.ב פרט היא מילה מקראית "וְכַרְמְךָ לֹא תְעוֹלֵל וּפֶרֶט כַּרְמְךָ לֹא תְלַקֵּט" (ויקרא י"ט. י')
ופירש רש"י ז"ל (שם) "ופרט כרמך - גרגרי ענבים הנושרים בשעת בצירה". כלומר גרגרים בודדים.

שורש המילה פרט מופיע עוד פעם אחת בתנ"ך בספר עמוס (ה'. ו') "הַפֹּרְטִים עַל פִּי הַנָּבֶל כְּדָוִיד חָשְׁבוּ לָהֶם כְּלֵי שִׁיר".
ופירש רש"י ז"ל: "הפורטים על פי הנבל – מנחם חברו עם ופרט כרמך, ורואה אני את דבריו שהמשורר על פי כלי זמר מחתך את הדבור בפרוטרוט הכל לפי נעימות קול הכלי להגביה ולהנמיך."
ורבינו הרד"ק פירש: "הפורטים על פי הנבל - מן פרט כרמך. ובדברי רבותינו ז"ל פרט וכלל - הוא עניין היחידוּת וההִבָּדֵל מן הכלל. רוצה לומר , שאומרים שיריהם על פי הנבל , כל מעלה ומעלה בשיר על פי נגון הנבל , שלא תדמה אחת לאחרת בניגונה"

בעברית ובלשון הקודש משמעות המילה פרד היא דומה (האותיות "הלשוניות" ד.ט.ל.נ.ת מתחלפות ביניהן) - יחיד ללא זוג, מפוזר ומפורד כאשר פריט בפני עצמו,

גם בשפה הערבית פירושה של המילה פַרְד (فَرْد) היא דבר יחיד, כלומר אי זוגי.

כך או כך, המשחק הזה (בין שני שחקנים) הולך ככה:
בתחילה בוחר אחד השחקנים בין זוג לפרט (והשחקן השני מקבל את מה שנותר).

אחר כך מראים שני השחקנים, בבת אחת, מספר מסוים בעזרת אצבעותיהם.
תוצאות המשחק מחושבות באמצעות חיבור שני המספרים.

אם סכום המספרים הוא אי-זוגי (3/5/7/9) השחקן שהימר "פרט" ניצח,

אך אם סכום המספרים זוגי (2/4/6/8/10) השחקן שהימר "זוג" ניצח.

כן, נכון מאוד, המונחים זוגי ואי זוגי קיימים גם בעולמם של המספרים.

מהן ההגדרות המתמטיות לפיהן אנו נקבע ונגדיר האם מספר X הוא זוגי או אי זוגי?

התשובה לכך היא:

• כל מספר שלם (כלומר שאינו שבר) חיובי או שלילי המתחלק ב 2 ללא שארית (או ששארית החלוקה שלו ב־2 היא 0) נקרא מספר זוגי.
• כל מספר שלם חיובי או שלילי שאינו מתחלק ב 2 ללא שארית (או ששארית החלוקה שלו ב־2 היא 1) נקרא מספר אי זוגי.
• כל מספר שלם הוא או זוגי או אי זוגי (אך לא שניהם יחדיו).

לדוגמא:

המספר 4 הוא מספר זוגי שהרי 4/2 שווה ל 2 ללא שארית.
המספר 5 הוא מספר לא זוגי שהרי 5/2 שווה ל 2 עם שארית 1.

רגע רגע…נשאלת השאלה היכן המספר אפס בכל מערכת המספרים הזו, כלומר כיצד הוא מוגדר מתמטית?

זוגי או אי זוגי?

למען הסר כל ספק, הגדרתו המתמטית של המספר אפס = מספר זוגי,

ומדוע? אתם שואלים…

בואו נבדוק יחד על פי ההגדרות שנכתבו לעיל.

0 = 2 ÷ 0

0 חלקי 2 שווה ל 0 ללא שארית.

ומכאן שהמספר 0 הוא מספר זוגי!!!

סה טו!!!

אבל רגע רגע…אלו הגדרות מתמטיות ותו לא?

מה עם הלוגיקה פה? היכן הוא ההיגיון?

תודו שגם לנו כמבוגרים הקביעה כי אפס הוא מספר זוגי היא קשה להבנה - כיצד ניתן לחלק את אותו אפס = "הכלום" הוירטואלי לזוג כלומר לשניים?

וקל וחומר שמדובר בלמידה עבור הילדים הקטנים בביה"ס היסודי…

אז בדיוק לשם כך מצורפות להלן מספר "המחשות ויזואליות" מפרספקטיבות שונות על מנת שנוכל כולנו (וגם ילדינו/תלמידנו) להבין את הקביעה הנ"ל…

המחשה א:



תשמעו סיפור:

מוישי בן השבע שיחק בביתו בשעות אחר הצהריים עם שני חבריו - יוסי ושרוליק.

תוך כדי המשחק של השלושה בקוביות נזכר מוישי בהסברו של הרב'ה על מספרים זוגיים ואי זוגיים והציע "לתרגל" זאת באמצעות משחק משותף.

תחילה החזיק מוישי שתי קוביות בידיו, קוביה אחת ירוקה וקוביה אחת צהובה.
יוסי קיבל את הקוביה הירוקה ושרוליק קיבל את את הקוביה הצהובה.
"הנה תראו" קרא יוסי לחבריו.
"היו לי שתי קוביות וחילקתי אותן שווה בשווה לשניכם, כעת לא נשאר לי אף קוביה - זה סימן שהמספר 2 הוא מספר זוגי!"

בשלב זה מוישי המשיך בניסוי המשעשע והחזיק קוביה אחת צהובה בידו האחת ולאחר כמה רגעים אמר לשני חבריו:
"כעת יש בידי קוביה אחת שלימה, היא צריכה להישאר שלימה כמות שהיא"
"ולכן" המשיך מוישי תוך כדי דיבור "לא ניתן במצב הזה לחלק לשניכם את הקוביה שווה בשווה. אנחנו יכולים ללמוד מכך שמספר אחד הוא אי זוגי."

"מוישי, פששש…איזה הסבר יפה! שכוייח!" אמרו יחדיו יוסי ושרוליק.

"כעת אנחנו נעשה עוד ניסוי קטן" אמר מוישי.
"תראו עכשיו מה יש לי ביד? אין לי אף קוביה. נכון? המשיך מוישי תוך כדי שהוא פושט את ידו ומראה אותה לחבריו כשהיא ריקה מכל תוכן.
"נכון מאוד!" אמר שרוליק.

מוישי המשיך את השיח המרתק ואמר "אני אחלק לשניכם מה שיש לי בידי האחת לשניכם שווה בשווה.
אני אחלק לשניכם את האפס בדיוק אותו דבר"
"אני חייב לשאול אותך משהו.אתה יודע מה זה גּוּרְנִישְׁט?" קרא לעברו יוסי והמשיך:
"גורנישט זה כלום! מה אתה רוצה לחלק לנו בדיוק? אוויר?"

מוישי הביט ביוסי וחשב קימעא.
ואז אמר "תראו, אני מבין את הבעיה פה, אבל בואו ננסה לחשוב ביחד…
נכון, יש לי אפס קוביות ביד, אין לי שום דבר. אם אתם תפשטו את ידכם תקבלו ממני כלום, שום דבר.
אבל יש כאן עובדה שאתם לא יכולים להתעלם ממנה…חילקתי לשניכם משהו שהוא כלום שהיה לי בידי האחת ושניכם קיבלתם אותו הדבר בדיוק!"
"אה" המשיך מוישי.
"וגם לא נשאר לי ביד שום דבר. נראה לי שקוראים לזה - שארית…."

חבריי היקרים - יוסי ושרוליק, זה בדיוק הסיפור פה! אפס הוא מספר זוגי" סיים מוישי את הסברו המרתק…
"הסבר מעולה ויפה!" קראו לעברו יוסי ושרוליק וחתמו "אתה באמת ילד חכם ונבון, מחר בהפסקה תוכל לשתף על כך את כל החברים בכיתה…להתראות מוישי ותודה רבה לך!"

ועד כאן לסיפור על משחק קוביות שהפך לשיעור מרתק במתמטיקה…

תודה רבה מוישי! מכולנו…

זוכרים את התמונת שער בפתחו של מאמר זה?

אומרים שתמונה אחת שווה יותר מאלף מילים… ובכן תמונה זו מגלמת ומשקפת היטב את הסברו של מוישי שלנו.

ניתן לראות את הספרה 0 מונחת של שתי כפות המאזניים והמאזניים נשארו "מאוזנות" לגמרי. כלומר "המשהו" הזה שמכונה "מספר 0" מתחלק ב 2 ואין כאן גם שארית…

המחשה ב:

בהמחשה זו אנו מחלקים את המספרים לשתי קבוצות מספרים זוגיים ומספרים שאינם זוגיים.

בשורה האמצעית מימין ניתן להבחין בשני הכדורים שסומנו במסגרת כחולה "כקבוצה".
באותה שורה משמאל - ישנם 3 כדורים כאשר כדור אחד (האדום) אינו "בקבוצה" - וזה אומר שיש כאן שארית ולכן 3 הוא מספר שאינו זוגי.

כאשר "יורדים שורה" אנו מעוניינים לשבץ את המספרים הרלוונטיים לכל עמודה.
ואם בשורה האמצעית שובצו המספרים 2 ו 3 המספר הבא "מתחת" ל 2 הוא 1.
והוא כמובן ישובץ בעמודה השמאלית כמספר לא זוגי.

שימו לב כי בשיטת שיבוץ זו נמצא כי מקומו של "הבא בתור" מתחת המספר 1 (הלא הוא מיודענו מספר 0) בעמודה הימנית השייכת לקטגוריית המספרים הזוגיים.

רק שם מקומו!

אין למספר אפס מקום בשיבוץ אחר!

המחשה ג:



כן, כך נראית סְקָלַת מספרים - הספקטרום שכולל מספרים "שלמים" כאשר המספרים החיוביים מימין (ל 0) והמספרים השליליים משמאל (ל 0).
סדרת המספרים היא סופית (או אינסופית תלוי את מי שואלים…ואכמ"ל) וכמובן - ארוכה הרבה מעבר לסקלה המתוארת.

אם נמקם את חודו של העיפרון על מספר 4 למשל (שלכולי עלמא פשוט וברור שהוא מספר זוגי) "ונצעד" שני צעדים ימינה או שמאלה - אנו תמיד נגיע (בכל דילוג שכזה) למספר שהוא זוגי.

הנה סימולציה קטנה:

מהמספר 4 נצעד שמאלה 2 צעדים ו…נכון מאוד אנו נגיע למספר 2.
המספר 2 הוא גם מספר זוגי.

וכעת מהמספר 2 נתקדם עוד שני צעדים שמאלה ו… הופ הגענו למספר 0!
והמסקנה ברורה. המספר 0 שייך למשפחת המספרים הזוגיים!

המחשה ד:


למעשה, ניתן לקבוע כי מספר זוגי הוא כל כפולה של 2 .
אם אנו מזהים שמספר כלשהו הוא כפולה של 2 ניתן מיידית לקבוע כי מדובר במספר זוגי .
לפיכך, ניתן להציג כל מספר זוגי שהוא באופן הבא:

מספר זוגי = 2 * n

זאת בהנחה כמובן ש-n הוא מספר שלם.(כאמור לעיל בין מספרים חיוביים ובין מספרים שליליים).

כאשר נכפיל 0 ב 2 התוצאה תהא 0.
וזו עוד "ראיה" ויזואלית שניתן לראות דרכה איך המספר 2 לדוגמא הנובע ממכפלת 2*1 אינו שונה במהותו כזוגי מהמספר 0 שגם הוא נובע ממכפלה של 2*0.

נפלא מאוד!

למזלנו, יש טריק ממש מגניב שעוזר לנו לגלות אם מספר הוא זוגי או אי זוגי.
לא נצטרך כל פעם לבדוק אם הוא יכול להתחלק ב 2
אם ספרת "היחידות" של המספר היא 0 או 2 או 4 או 6 או 8 -המספר זוגי!
אם לא - המספר הוא אי זוגי!
סה טו!

והנה סימולציה קטנה:

שאלה - האם המספר 5896248525824851255958465852348710854786582546585240347 הוא זוגי או לא?
אין צורך להוציא מחשבון או דף ועט לפתרון "התעלומה המסובכת" הזו ולהתחיל לחשב את התוצאה של חלוקת המספר הזה ב 2!

פשוט נפנה את מבטנו אל עבר ספרת "היחידות" הממוקמת בקצה הימני ביותר של המספר "הארוך הזה".
המספר הוא - 7

המספר 7 הוא לא 0 ולא 2 ולא 4 ולא 6 ולא 8…נכון?

זהו. הבדיקה הסתיימה בהצלחה!

אנו יכולים לקבוע בוודאות מוחלטת כי מספר זה אינו זוגי!

ברשותכם, אפרופו סוגיית "הזוגיות" של המספר אפס אני רוצה לחדד נקודה השייכת "לפילוסופיה של המתמטיקה" - שאלה שאולי גם אתם שאלתם את עצמכם…
אם נחזור להגדרה המקורי והבסיסית למספר זוגי היא - כל מספר שלם שמתחלק ב 2 ללא שארית…
אתם זוכרים את הסברו המרתק של מוישי שלנו (לעיל בהמחשה א')...
אז זהו, שאם נתבונן מעט יותר בהסבר זה נגלה שלכאורה משהו פה לא פתור לגמרי.

כי הרי האפס מבחינה כמותית הוא כלום - גורנישט!
ואם כן מה הראיה היא זו שחלוקתו לשניים היא ללא שארית , הרי באותה מידה אם נחלק את האפס בכל מספר שהוא התוצאה תהיה (אפס) ללא שארית!
כל המונח שארית הוא חסר רלוונטית כלפי המספר אפס מסיבה פשוטה שאין כאן איזה כמות "ממשית" שניתן להתחיל לדון "בשארית" ממנה.
תחשבו על זה…
זו אכן שאלה פילוסופית מצוינת…

אבל התשובה לכך היא שכל המונחים המתמטיים מספרים זוגיים ואי זוגיים מסתכמים בשורשם בחלוקה שווה (ללא שארית)לשניים או באי חלוקה שווה לשניים.
לכן כל שאלת הבוחן עבור האינדיקציה האם מספר x הוא זוגי או אי זוגי לא יכולה להיות גדולה מ 2 למשל n/3 או n/4 וכדומה..

מהן האופציות הקיימות כעת?
או n/1 או n/2

וכאן אנו נאלצים לשלול את הנוסחה n/1 ללא שארית - שהרי אין לך שום מספר בעולם שיתחלק ב 1 ויהא בו שארית!!!
ולכן הנוסחה היחידה מכלל האפשרויות היא n/2 ללא שארית = מספר זוגי.

ולאחר כל ההסבר הזה, כאשר אנו נדרשים לבחון את מעמדו של האפס אנחנו גם נציב את אותה הנוסחה כי פשוט אין ברירה אחרת!

זו הנוסחת יסוד האולטימטיבית לבוחן הזוגיות בעולמם של המספרים (השלמים)!

המספרים הזוגיים הם משפחה אחת גדולה ודין אחד לכולם ללא יוצא מן הכלל!
וכאשר נציב 2/0 התוצאה תהא ללא שארית!
ואם אין כאן שארית - מקומו של מספר זה עם משפחת המספרים הזוגיים כי פשוט אין שום אלטרנטיבה אחרת!
ועד כאן לפינה הפילוסופית כהשלמה בנושא "הזוגיות של האפס".

כעת, בואו תראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…

בעולמם של האקסל / גוגל שיטס ישנן מספר פעולות בכל הקשור לסוגיית מספרים זוגיים ואי זוגיים.



זהו צילום מסך מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן.

בעמודה A ישנה רשימת מספרים קצרה כהמחשה.
עד כה למדנו כי שיטת הבדיקה הבסיסית עבור כל מספר (האם הוא מספר זוגי או אי זוגי) היא - האם הוא מתחלק ב 2 ללא שארית.
באקסל /שיטס פעולה זו ניתנת לביצוע ב 2 שיטות.

שיטה א:

כולנו כבר מכירים את פונקציית mod באקסל/שיטס.(כתבתי אודותיה במאמר בלינק כאן)
אזכיר כי מטרתה היא להחזיר את השארית בלבד בכל פעולת חילוק. (כאשר את המונה והמכנה יש לכתוב בארגומנטים של הפונקציה)

בעמודה B הפונקציה מחזירה את השארית בלבד מפעולת חילוק בין המונה (מספר x כלומר הפניה לתא מעמודה A) למכנה (2)
ויש כאן גם תוספת קטנה 0=
שווה ל 0.
המשמעות של התנאי היא שתוצאת פעולת החילוק היא ללא שארית כלל.
כאשר התנאי מתקיים מוחזר הביטוי הלוגי true כלומר אמת / נכון.
וכאשר התנאי אינו מתקיים מוחזר false כלומר שקר / אינו נכון.
דרכה של פונקציית mod להחזיר מספרים בלבד אך כאן כיוון שיש תוספת תנאי (שווה ל 0) הפונקציה "מדברת" בערכים לוגים של true או false.
זו דוגמא למבנה הפונקציה בתא B2:


שיטה ב:

תכירו, זו פונקציית iseven

פונקציה זו באקסל / גוגל שיטס היא חלק ממשפחת פונקציות "האיזים" המורחבת שמטרת כולן לבצע בדיקות שונות בערכי התאים.
הוא - is
זוגי - even
כלומר האם הערך המספרי שהוזן (באופן ידני או כהפניה לתא) בארגומנט (הבודד number) של הפונקציה הוא זוגי או אי זוגי.

כאשר המספר זוגי מוחזר true
וכאשר המספר אי זוגי מוחזר false.

זו דוגמא למבנה הפונקציה בתא D2:


קצר וקולע!

נ.ב ניתן לבצע בדיקה זו גם בעזרת "אחותה התאומה" של פונקציית iseven שנקראת isodd.
אי זוגי - odd

החזר תוצאת כל בדיקה היא הפוכה, כלומר שעבור מספר אי זוגי הפונקציה מחזירה true ועבור מספר זוגי הפונקציה מחזירה false.
כאמור לעיל בגיליון המצורף הבדיקה מתבצעת באמצעות פונקציית iseven. אך ניתן לבצע את הבדיקה (וכן להציב כללים בעיצוב מותנה שיפורט להלן) כך או כך, איך שרק תרצו…

ואם בעניין מספר זוגי/אי זוגי עסקינן, כדאי שתכירו עוד פונקציה נפלאה שקוראים לה even.
מהותה ותפקידה של פונקציה זו היא לעגל את המספר (שלם או שבר עשרוני, זה לא משנה…) שנכתב בארגומנט שבה (ארגומנט בודד number) למספר הזוגי "הקרוב ביותר".
זו דוגמא למבנה הפונקציה בתא C2:


כאמור לעיל, המספר 0 הוא מספר זוגי ולכן הפונקציה מחזירה 0, כלומר הערך המספרי נותר ללא שינוי.

אם נדמיין לרגע את ציר המספרים כבניין גבוה עם קומות מעל הקרקע ומתחת לפני הקרקע אז:
קומת קרקע ("כניסה") היא המספר 0.
כאשר מזינים בארגומנט מספר חיובי שאינו זוגי, הפונקציה "מחפשת" את הקומה הזוגית הקרובה ביותר כלפי מעלה כלומר, רחוקה מהאפס כלפי מעלה.
ולכן בתא C3 למשל, הפונקציה מחזירה 2 ולא 0.
המספר 1 ממוקם "בקומה" בין 0 ל 2. אך הפונקציה מבצעת את "החיפוש" בטיפוס כלפי מעלה עד שמגיעה למספר הזוגי הקרוב ביותר דהיינו 2 ואותו היא מחזירה.

כאשר מדובר במספרים "שליליים" (באנלוגיה לעיל מדובר "בקומות" מתחת לפני הקרקע) הפונקציה מבצעת את "החיפוש" תוך כדי "ירידה" כלפי מטה.
לדוגמא: אם הוזן בארגומנט המספר 1- הפונקציה תחזיר 2- ולא 0.

הלאה, נתקדם עוד שלב…

תראו, אם תרצו מכל סיבה שהיא להוסיף קצת צבע לגיליון ולבצע צביעה אוטומטית בצבע x את התאים המכילים ערך מספרי זוגי ובצבע y את התאים במכילים ערך מספרי שאינו זוגי.

האם זה אפשרי?

התשובה היא - כן, ובהחלט. זה אפשרי בעזרת עיצוב מותנה.

איך זה מתבצע בפועל?

בגיליון המצורף בלינק להלן ערכתי 3 פתרונות לכך כפי שאפרט אותן להלן.



ותחילה…

באקסל, יש לסמן את טווח התאים > בכרטסת "בית" יש ללחוץ על עיצוב מותנה > כלל חדש > "בבחר סוג כלל" יש לסמן "השתמש בנוסחה כדי לקבוע אלו תאים לעצב" > יש ללחוץ על "עיצוב" ולבחור צבע מילוי > אישור.
בשורת הנוסחה יש לכתוב נוסחה מתוך הפתרונות להלן > אישור.

בגוגל שיטס, יש לסמן את טווח התאים > בכרטסת "עיצוב" יש לבחור בעיצוב מותנה > הוספת כלל > בכללים לפורמט יש לבחור "הנוסחה המותאמת אישית היא" > בסגנון עיצוב יש לבחור צבע מילוי.
בשורת הנוסחה יש לכתוב נוסחה מתוך הפתרונות להלן > אישור.

ולאחר הקדמה זו אציג את הפתרונות. כלומר הנוסחאות שיש להזין בשדה הנוסחה מותאמת אישית.

פתרון 1:

זו הנוסחה עבור עיצוב תאים המכילים ערך מספרי זוגי:


וזו הנוסחה עבור עיצוב תאים המכילים ערך מספרי שאינו זוגי:


פתרון 2:

זו הנוסחה עבור עיצוב תאים המכילים ערך מספרי זוגי:


וזו הנוסחה עבור עיצוב תאים המכילים ערך מספרי שאינו זוגי:


פתרון 3:

בפתרון זה מתבצעת המרה עבור הביטויים הלוגים true / false (המוחזרים על ידי פונקציית iseven) לערכים בינארים של 0 או 1.
ההמרה מתבצעת באמצעות טכניקת ה-Double Negative (כתבתי באריכות על כך במאמר בלינק כאן)

ולכן, הכלל שנכתב בעיצוב מותנה עם טוויסט קטן ומותאם אף הוא להחזרים של 0 או 1.

זו הנוסחה עבור עיצוב תאים המכילים ערך מספרי זוגי:


וזו הנוסחה עבור עיצוב תאים המכילים ערך מספרי שאינו זוגי:


ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות.
מקווה שנהניתם מהקסם…

לסיום, אפרופו המונח "מספר זוגי" בראי המתמטיקה והאקסל שעליו נסוב מאמר זה אחתום במשנתם של חז"ל שהזהירו מפני איסור "זוגות".

איתא בתלמודא (בבלי מסכת פסחים דף ק"ט עמוד ב') "היכי מתקני רבנן (שתיית 4 כוסות בליל ראשון של פסח) מידי דאתי בה לידי סכנה והתניא לא יאכל אדם תרי ולא ישתה תרי וכו'"(תרי-זוגות וה"ה לארבעה, רשב"ם)

ומתרצת הגמרא הקדושה ג' תירוצים:

"אמר רב נחמן: אמר קרא ליל שמורים, ליל המשומר ובא מן המזיקין.(ןלכן אין לחשוש מכך בליל פסח)
רבא אמר: כוס של ברכה(כלומר, כוס ברכת המזון שהוא כוס שלישי) מצטרף לטובה (כלומר, שאם שתה שתי כוסות, כוס השלישית מבטל את איסור זוגות) ואינו מצטרף לרעה.(דהיינו להשלים לזוגות עם הכוס הרביעית)
רבינא אמר: ארבעה כסי תקינו רבנן דרך חירות כל חד וחד מצוה באפי נפשה" (ואין מצטרפין זה לזה, רשב"ם)

רבינו המהר"ל מפראג זצ"ל מאור עיני ישראל בספרו "גבורות השם" (פרק ל"ח) מסביר את הקשר המהותי בין פעולות המתבצעות כרצף "זוגי" (2 וכפולותיו) לבין מהותם של המזיקים ששורשם ומהותם "בשניות" וכך הוא לשונו ז"ל:
"ומה שאמר הלילה הזה משומר ובא מן המזיקין הוא ענין גדול מאוד נתבאר במה שיום פסח נקרא ראשון,
(כוונת רבינו ז"ל לפסוק המפורש במקרא ויקרא כג, ז "ביום הראשון מקרא קודש יהיה לכם כל מלאכת עבודה לא תעשו")
אף על גב שמצאנו שנקרא יום טוב ראשון של חג הסוכות גם כן ראשון אין ראשון כמו זה, כי הוא ראוי להקרא ראשון מצד שהוא בחדש ראשון ג"כ, ואין המזיקים שולטים בזה כי אין מזיקים שולטים רק בשניות, כמו שידוע במה שאמרו חכמים שלא לאכול זוגות ולשתות זוגות כי המזיקים שולטים על זה ואינם שולטים על אחדות,

ודבר זה סוד נפלא נתבאר בספר באר הגולה,
(כך הוא לשונו של רבינו ז"ל בספרו "באר הגולה" באר השני "והוא אמרם בפרק קמא דברכות כל הקורא קריאת שמע על מטתו כאילו אוחז חרב של שתי פיות בידו שנאמר רוממות אל בגרונם וחרב פיפיות בידם. וביאור זה, כי רוממות אל שהוא יתברך יחיד בעליונים, והוא מרומם על הכל, וזהו קריאת שמע. וכאשר האדם מתדבק באחדותו יתברך, האחדות שלו מבטל כח המזיקים, שאין בהם רק השניות, לטעם שנתבאר וכו'")
והלילה הזה אין בו שניות כלל שהרי הוא ליל חג ראשון בחדש הראשון. ולפיכך הקשו בפרק ערבי פסחים מהא דתקנו חכמים ארבע כוסות שהם זוגות וכי תקנו רבנן דבר דאתו לידי סכנה, ומתרץ ליל שמורים כתיב ליל המשומר ובא מן המזיקים,
פירוש הזוגות אינו מזיק בלילה זה, כי הלילה הזה אין בו זוג כי הוא ראשון לגמרי ואין להאריך.

ועיקר זה כי הדבר שהוא בעצם הוא ראשון,
(רבינו ז"ל כתב והסביר על כך בספריו בכמה דוכתין, ראה לדוגמא בספר "גבורות השם" פרק נ"ז שכתב שם:
"כי העצם הוא הראשון, ואשר אינו בעצם אינו ראשון. ולכך מכה עשירית בראשית שלהם, שהוא הבכור, כי המכה העשירית היתה בעצמן לגמרי, ודבר שהוא ראשון הוא עצם יותר. ולפי שהמכות היו מתחילין ברחוק יותר, ותמיד היו מתקרבין, עד שהגיעו המכות לעצם מצרים…")

והדבר שאינו בעצם הוא בשניות, והמזיקים אין בריאותם בעצם רק נבראים מפני שהם נמשכים אחר העולם, כמו דבר המקרה שהוא נמשך אחר מה שהוא בעצם, ולפיכך אינם שולטים רק על שניות לא על ראשון,
(עיין בדברי רבינו ז"ל בספרו באר הגולה בבאר השני וז"ל:
"ענין זה הוא חכמה נפלאה מאוד... כי השם יתברך כאשר ברא עולמו, יש בריאה שאינו עצם הבריאה, רק הם נמשכים אחר עצם הבריאה, ואינם עיקר הבריאה... ודבר זה תמצא בנבראים גשמיים, ובנבראים בלתי גשמיים. כמו הרוחות והשדים, והם אינם עצם הבריאה, אבל הם נמשכים לבריאה, וטפילים אצל הבריאה. ובדברים הגשמיים, כמו התולעים וכיוצא בזה, אין בהן בריאה, רק בשביל שאין הבריאה זולתם, ומכל מקום אינם עצם הבריאה. ודבר זה נקרא - שניות, כי בעצם ובראשונה אין בהם בריאה כלל, רק הם שניות לבריאה. לכך הם שולטים במקום שיש שניות, כי זהו כוחם")
ומפני זה היתה הגאולה גם כן בלילה הזה, כי כל גאולה היא ראשונה כמו שנתבאר למעלה עיין שם, ולפיכך אין המזיקים שולטים בלילה שהוא ראשון, והבן זה היטב מאוד". עכ"ל.

כיוצא בו כתב הכהן "הגדול מאחיו" רבי צדוק הכהן מלובלין זצ"ל בספרו "אור זרוע לצדיק" (במאמר בי"ת רבתי ובי"ת זעירא) כי "סיגנון אחד עולה לכמה נביאים" (בבלי מסכת סנהדרין פ"ט) וזהו תורף דבריו בלשונו הנפלא:
"ובזה נבין ענין הזוגות בפרק ערבי פסחים ואינו אלא בענייני העולם אבל במעשה המצות אמרו כוס של ברכה אינו מצטרף לרעה. והוא כאשר אמרנו כי יסוד העולם במה שהוא נברא להעלים ייחודו ושיהיה נמצא כח הרע בעולם הוא על ידי חיבור וההרכבה ונמצא יסוד חלק רע בעולם הוא על ידי כח השניות והזוגות שנתגלה בעולם כאשר אמרנו לכן כח הרע מצוי למי שעושה זוגות.
ולפי שתכלית המצות הוא להיפך לגלות כח היחוד האמיתי בעולם כאשר אמרנו לכן כוס של ברכה אינו מצטרף. ולכן בזוגות בענייני העולם המותרים משליט כח הרע כל שכן באיסורין לכן אמרו עבר ושנה הותרה לו וכו'..." עכ"ל עיין שם.

וזהו ענין הסגולה הידועה ממרן רבינו חיים מוולוז'ין זצ"ל בספרו "נפש החיים" (שער ג' פרק י"ב) כי הכול ענין אחד התלוי בדביקות המחשבה והדיבור באחדותו וייחודו של הבורא יתברך וממילא אין שום מקום לכוחות הרע ולמזיקין לפעול כי שורשם הוא מהשניות הפך אחדותו יתברך ויתעלה.
וכך הוא לשונו ז"ל:
"וּבֶאֱמֶת הוּא עִנְיָן גָּדוֹל וּסְגֻלָּה נִפְלָאָה לְהָסִיר וּלְבַטֵּל מֵעָלָיו כָּל דִּינִים, וְרְצוֹנוֹת אֲחֵרִים שֶׁלֹּא יוּכְלוּ לִשְׁלֹט בּוֹ, וְלֹא יַעֲשׂוּ שׁוּם רֹשֶׁם כְּלָל,
כְּשֶׁאָדָם קוֹבֵעַ בְּלִבּוֹ לֵאמוֹר: הֲלֹא ה' הוּא הָאֱלֹקִים הָאֲמִתִּי וְאֵין עוֹד מִלְּבַדּוֹ יִתְבָּרַךְ שׁוּם כֹּחַ בָּעוֹלָם וְכָל הָעוֹלָמוֹת כְלָל, וְהַכֹּל מָלֵא רַק אַחֲדוּתוֹ הַפָּשׁוּט יִתְבָּרַךְ שְׁמוֹ, וּמְבַטֵּל בְּלִבּוֹ בִּטּוּל גָּמוּר, וְאֵינוֹ מַשְׁגִּיחַ כְּלָל עַל שׁוּם כֹּחַ וְרָצוֹן בָּעוֹלָם, וּמְשַׁעְבֵּד וּמְדַבֵּק טֹהַר מַחֲשַׁבְתּוֹ רַק לְאָדוֹן יָחִיד בָּרוּךְ הוּא,
כֵּן יַסְפִּיק הוּא יִתְבָּרַךְ בְּיָדוֹ שֶׁמִּמֵּילָא יִתְבַּטּלוּ מֵעָלָיו כָּל הַכֹּחוֹת וְהָרְצוֹנוֹת שֶׁבָּעוֹלָם שֶׁלֹּא יוּכְלוּ לְפְעוֹל לוֹ שׁוּם דָּבָר כְּלָל."

לינק לגיליון שיטס הכולל פתרונות לבדיקה האם מספר x הוא מספר זוגי או לא ועוד - מצורף כאן.