הנושאים החמים
תמונת מקור - Leonardo AI
את השאלה המתמטית / גיאומטרית הזו כתב ונִיסֵּחַ רבי אברהם בר חייא הנשיא זצ"ל בספרו המונומנטלי "חיבור המשיחה והתשבורת" (שער שני שאלה §47):
"מרובע שווה אשר הוצאתָ ממניין תשבורתו מניין צלעותיו הארבעה ונשאר בידך מן התשבורת כ"א אמה, כמה הוא התשבורת וכמה הוא מניין כל צלע וצלע מהמרובע?"
אסביר ואציג את השאלה בשפה שיותר מוכרת לכולנו מן המתמטיקה המודרנית.
מרובע "שווה" הכוונה לצורה הגיאומטרית - רִבּוּעַ.
ריבוע הוא מקרה פרטי של מרובע/משפחת המרובעים ובו 4 צלעות שוות ו4 זוויות שוות בנות 90 מעלות.
תִּשְׁבֹּרֶת הכוונה לחישוב שטחים בלשון רבותינו הראשונים,(להבדיל מהמונח הפיזיקלי שכוונתו כוח שבירת קרני האור בעדשה ובקרנית העין.)
כך למשל כתב רבינו הרמב"ם ז"ל (היד החזקה הלכות שבת פרק ט"ו הלכה ג') "כמה היא בית סאה חמשים אמה על חמשים אמה. נמצא בית סאתים מקום שיש בתשבורתו חמשת אלפים אמה…"
כזכור, במאמר כאן כתבתי את הנוסחה לחישוב שטח ריבוע = אורך כפול רוחב.
חישוב "היקף" של הריבוע שווה לאחת מצלעותיו כפול 4.
"מנין צלעותיו" הכוונה לחישוב היקף צלעותיו של הריבוע.
"מרובע שווה(דהיינו ריבוע) אשר הוצאתָ (כלומר שאנו נחסיר) ממניין תשבורתו(מחישוב שטחו) מניין צלעותיו הארבעה(דהיינו היקפו של הריבוע) ונשאר בידך (זו תוצאת פעולת החיסור) מן התשבורת כ"א אמה,
(וכעת יש לחשב כאן)
כמה הוא התשבורת (כלומר מהו חישוב השטח של הריבוע) וכמה הוא מניין כל צלע וצלע מהמרובע?"
הבעיה המרכזית "והגדולה" בכל הסיפור הזה שלא נאמר לנו במפורש מהו מידת הצלע A (שימו לב, זה לא משנה איזה צלע ננקוט לצורך החישוב כי כזכור - בריבוע כל הצלעות שוות…) של הריבוע.
במתמטיקה המודרנית אנו מכנים זאת - "נעלם" /משתנה.
במקרה כאן ישנו נעלם אחד בלבד אותו נכנה = X.
במתמטיקה מודרנית משוואה שכזו נקראת "משוואה ריבועית" או משוואה "ממעלה שניה".
זו צורתה וניסוחה של משוואה ריבועית:
ובמקרה שלנו, הניסוח של המשוואה הריבועית יהיה כך:
אסביר את המשוואה במילים מופשטות.
את שטחו של ריבוע זה מסמל הביטוי x בריבוע, כלומר x*x.
מגודל שטח זה אנו מפחיתים / מחסרים 4X כלומר את היקפו של הריבוע, (שכזכור לעיל מחושב - אחת מצלעותיו של הריבוע כפול 4)
ולאחר הפחתה זו יהיה שטחו של הריבוע 21 (אמה או כל יחידת שטח אחרת שנבחר בניסוח שאלה זו.)
כדי "להתאים" את מתכונת המשוואה לניסוחה של משוואה ריבועית יש "לסדר" קצת את המשוואה ולכן אנו נעביר את כל האיברים לצד השמאלי.
בעקבות שינוי זה ישתנה "הסימון" של המספר 21 (חיובי) ל 21- (מינוס 21)
וכעת המשוואה תיראה כך:
אנו רואים כי המשוואה מכילה 3 פרמטרים:
פרמטר a - הוא "המקדם" של איבר a.
במקרה כאן, לא צוין משמאל לאיבר a (דהיינו x בריבוע) שום דבר ולכן המקדם הוא 1.
מקדם זה מוכרח להיות לא שווה ל 0.
כאשר המקדם הוא 0 - גורם זה מתבטל והמשוואה הופכת להיות משוואה "לינארית".
פרמטר b - הוא המקדם של איבר b.
במקרה כאן ערכו הוא 4- (אסור לשכוח אף פעם את הסימון המתמטי של המקדם! שימו לב לכך!)
פרמטר c - הוא מספר חופשי.
במקרה כאן ערכו הוא 21-
משוואה זו נקראת גם "משוואה ממעלה שניה", והסיבה לכך היא מפני שמשוואה זו מכילה מעריך חזקה שערכו המקסימלי הוא 2 (אותו x בריבוע) .
ישנם גם משוואות ממעלה ראשונה (אלו הם נעלמים "רגילים". אין משמעות להוספת x בחזקת 1 כי כל מספר בחזקת 1 הוא המספר עצמו) וכן ממעלה שלישית ורביעית, אך לא נדון בהן במסגרת מאמר זה.
איך לפתור משוואה ריבועית?
ובכן, ישנן מספר פתרונות לכך. אני אפרש תחילה את הדרך "הפשוטה /הקלה" (באופן יחסי כמובן…),
זו הנלמדת בבתי הספר העל יסודיים (יחד עם שיטת "פירוק לטרינום") וניתן להוסיף - הפופולרית ביותר…
קוראים לה - נוסחת השורשים.
מבנה הנוסחה נראה כך:
כאשר a.b.c מקדמי המשוואה הריבועית.
הסימון "המוזר" פלוס ומינוס המופיע משמאל לשורש במונה השבר מציין שיש (עד) שני פתרונות אפשריים.
פתרון אחד עם פלוס ופתרון אחד עם מינוס.
זו משמעות התוצאות X1.2
כלומר x1 זהו פתרון אחד ו- x2 זהו פתרון שני.
חשוב להבין את הרעיון המתמטי בסיפור הזה.
תקראו את ההסבר:
הביטוי "בתוך השורש" נקרא דיסקרימיננטה (Discriminant) או "מבחין".
בנוסחת השורשים הביטוי הבא הוא הדיסקרימיננטה:
- כאשר המבחין חיובי - אז יש למשוואה שני פתרונות שונים.
- כאשר המבחין שווה ל 0 - אז יש למשוואה פתרון יחיד.(הסיבה לכך שאין נפקא מינה בין מספר כל שהוא פלוס 0 או מינוס 0.תחשבו על זה….)
- כאשר המבחין שלילי - אין פתרון למשוואה זו כאשר מדובר במספרים "ממשיים".(במתמטיקה לא ניתן לפתור שורש של מספר שלילי. פתרון הולם לכך ניתן למצוא במספרים "מרוכבים" )
שלב 1 - זיהוי המקדמים במשוואה:
כאמור לעיל
המקדם של x בריבוע הוא 1 ולכן a=1
המקדם של x הוא 4- ולכן b=-4
המספר חופשי הוא 21- ולכן c=-21
לאחר מכן נציב את הערכים בנוסחת השורשים:
שלב 2 - חישוב הדיסקרימיננטה:
שלב 3 - חישוב השורש של הדיסקרימיננטה:
שלב 4 - החלפת ופתרון הערכים בנוסחה:
שלב 5 - חישוב שני הפתרונות:
זוכרים את השאלה לעיל?
"מרובע שווה אשר הוצאתָ ממניין תשבורתו מניין צלעותיו הארבעה ונשאר בידך מן התשבורת כ"א אמה, כמה הוא התשבורת וכמה הוא מניין כל צלע וצלע מהמרובע?"
נהדר, יש לנו 2 פתרונות:
פתרון 1 - x=7
פתרון 2 - x=-3
זהו מנין כל צלע…
אבל רגע רגע…האם תיתכן צורה גיאומטרית של ריבוע "שמנין הצלע" יהיה 3- (מינוס 3)?
ברור שלא!
פתרון זה רלוונטי עבור משוואה ריבועית "סתמית" ולא כזו שתורגמה לשאלה גיאומטרית שכזו…
לא נותר לנו אלא "להישאר כאן" עם פתרון אחד רלוונטי והוא: x=7
ומכאן הדרך פשוטה וקלה לחשב את "תשבורת" הריבוע כלומר שטחו.
49 = 7*7
עד כה למדנו והכרנו את "נוסחת השורשים" כפתרון למשוואה ריבועית.
צריך לזכור שנוסחה זו נחשבת "מודרנית" באספקט ההיסטורי ומוזכרת לראשונה במתכונתה הנוכחית בספר La Géométrie (גיאומטריה) של הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי מהמאה ה 17 רֶנֶה דֶקַארְט.
כפי שנראה להלן, רבי אברהם בר חייא שחי במאה ה 12 השתמש בטכניקת "השלמה לריבוע" עבור הפתרון לשאלתו לעיל.
כיום, טכניקה זו פחות פופולרית בכל הקשור לפתרון למשוואה ריבועית אך בימי קדם זו היתה השיטה "הידועה".
"אבי האלגברה" המתמטיקאי הפרסי - מוסלמי אל-ח'ווארזמי שחי במאה ה 9 בבגדד מתאר את השיטה של "השלמה לריבוע" בספרו "אלג'בר ואלמוקאבלה" (כלומר, חשבון ההשלמה וההקבלה.
באגב, המונח אלגברה שבו אנו מכנים עד היום את כל הענף במתמטיקה שעוסק בין היתר בפתרון משוואות, וכן המונח אלגוריתם נגזר מן המילה "אלג'בר". שאפו!...)
2 נקודות חשובות:
1. הפתרון של אל חואריזמי אינו לוקח בחשבון פתרונות שליליים כלומר במספרים שליליים.
2. הפתרון המקורי הוצג באופן מילולי, כי השימוש באותיות ובמשתנים לא היה מוכר בתקופתו של
אל חואריזמי.
את אותה אלגברה של עולם האסלאם הביא לאירופה הנוצרית רבי אברהם בר חייא וכפי שתראו להלן כתב זאת בעברית (לראשונה)בספרו "חיבור המשיחה והתשבורת".
ולאחר ההקדמה ההיסטוריונית הזו אביא תחילה את הפתרון לשאלה לעיל במילותיו של רבי אברהם בר חייא, ולאחר מכן אסבירן שלב אחר שלב תוך כדי המחשה והסבר של שיטת "ההשלמה לריבוע".
וכך היא תשובתו:
"חלק מניין הצלעות אשר הוא ארבעה לשנים, ומנה השנים בעצמו ויהיו ד', והוסף המניין הזה אל המניין המסור לך אשר נשאר מן המרובע ויהיה הכל כ"ה. ודע גדר כ"ה, והוא ה', נוסיף אליו מחצית הצלעות, הוא ב', ויהיה הכל ז' והוא צלע המרובע, ותשבורתו מ"ט. והשואל הזה פחת מן התשבורת אשר היא מ"ט, מספר ארבע הצלעות, אשר כל אחת מהן ז', וארבעתן כ"ח, ונשאר מן המרובע כ"א, כאשר אמר לך".
שלב 1:
ובלשונו של הרב ז"ל:
"חלק מניין הצלעות אשר הוא ארבעה לשנים"
שלב 2:
ובלשונו של הרב ז"ל:
"ומנה השנים בעצמו ויהיו ד'."
שלב 3:
ובלשונו של הרב ז"ל:
"והוסף המניין הזה אל המניין המסור לך אשר נשאר מן המרובע ויהיה הכול כ"ה."
שלב 4:
ובלשונו של הרב ז"ל:
"ודע גדר כ"ה, והוא ה'"
"גדר" בלשונו של הרב ז"ל הוא מה שאנו מכנים "שורש של המספר…".
שלב 5:
ובלשונו של הרב ז"ל:
"נוסיף אליו מחצית הצלעות, הוא ב', ויהיה הכול ז' והוא צלע המרובע,"
שימו לב כי רבי אברהם בר חייא מסיק פתרון אחד ובודד לנעלם x.
"ויהיה הכול ז'" כלומר x=7.
הסיבות לכך הן שתיים:
א. כפי שהזכרתי לעיל, בתקופה זו מספרים שליליים לא היו מוכרים בענף המתמטיקה, כך שפתרון x=-3 הוא חסר משמעות.
ב. ולא זו בלבד, (וזו הסיבה העיקרית) כפי שהסברתי לעיל פתרון x=-3 אינו רלוונטי ובר מציאות כאשר המשוואה הריבועית היא תרגום לשאלה הגיאומטרית אודות שטחו של ריבוע.(ולא שאלה / בעיה "סתמית" וערטילאית…)
צלע של ריבוע אינו יכול להיות בסימון שלילי של 3- !!!
כולכם מסכימים עם כך…
ולאחר "פיצוח הבעיה" על ערכו של x כלומר צלע הריבוע הדרך סלולה ופשוטה…
הנה המשך דבריו ז"ל:
"ותשבורתו מ"ט".
כזכור, הנוסחה למציאת שטח ריבוע היא A×B או לחילופין A^2
נציב בנוסחה:
49 = 7 × 7
"והשואל הזה פחת מן התשבורת אשר היא מ"ט, מספר ארבע הצלעות, אשר כל אחת מהן ז',"
במונחים מתמטיים מודרניים הכוונה ל: 4x-
"וארבעתן כ"ח"
כאשר x=7
אז 4x=4×7=28
זהו מנין כל הצלעות כלומר היקף הריבוע.
"ונשאר מן המרובע כ"א, כאשר אמר לך".
ואכן, כאשר נערוך תרגיל חיסור פשוט התוצאה תהא 21.
21 = 28 - 49
החידה ופתרונה…כמה זה מדויק ונפלא!
לפני שאמשיך וכהשלמה לנאמר לעיל הנה עוד כמה מילים אודות שיטות "השלמה לריבוע" "ונוסחת השורשים",
ובכן, לעיתים נדמה כי טכניקות השלמה לריבוע ונוסחת השורשים הן שתי שיטות שונות.
זה אמנם נכון…אך מה שיותר מדויק לומר הוא שהן בגדר "שתיים שהן אחת" במובן מסוים.
ולמה? כי נוסחת השורשים מבוססת "ויוצאת" מתוך שיטת השלמה לריבוע הקדומה.
למעשה, ניתן "להוכיח" את נוסחת השורשים מתוך שיטת השלמה לריבוע,(כלומר נוסחאות הכפל המקוצר…)
מעניין אתכם? סקרנים לשמוע?
קדימה, תקראו ותהנו!
כעת, בואו תראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
כן, גם אני יודע שהכי פשוט ונוח עבור פתרון למשוואה ריבועית הוא לפתוח מחשבון מדעי כזה או אחר (בדרך כלל במחשבון casio יש ללחוץ על mode ואז 5 ואז 3) ולהציב את הפרמטרים (a.b.c) הנכונים והופ…התוצאות יהיו לפנינו, כלומר ערכי x1.x2
החלק שיותר מעניין/מרתק בכל הסיפור פה שניתן להשיג את הפתרונות גם באקסל/שיטס כפי שתיכף תראו.
קדימה התחלנו…
לפניכם צילום מסך מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן.
בשורה 3 תוכלו לראות את שאלתו של רבי אברהם בר חייא ז"ל בספרו חיבור המשיחה והתשבורת.
"מרובע שווה אשר הוצאת ממנין תשבורתו מנין צלעותיו הארבעה ונשאר בידך מן התשבורת כ"א אמה, כמה הוא התשבורת וכמה הוא מנין כל צלע וצלע מהמרובע?"
כמו כן, בשורות 5-11 תוכלו לראות את פתרונו המלא של הרב ז"ל ב 7 שלבים - שלב אחר שלב…
אזכיר בקצרה על שתי פונקציות שמוזכרות כאן sqrt & power
במאמר בלינק כאן הסברתי בהרחבה אודות שתי פונקציות אלו.
פונקציית power מחזירה תוצאת "חזקה".
ופונקציית sqrt מחזירה תוצאת "שורש".
בחלקו התחתון של הצילום מסך הנ"ל תוכלו לראות את נוסחת השורשים המודרנית מיושמת "הלכה למעשה" בתוך תאי האקסל/שיטס.
בתאים B14 - C14 - D14 יש להזין את הפרמטרים של המשוואה הריבועית (a.b.c) וכמובן (אני מזכיר שוב ושוב) לא לשכוח להזין את הסימון של הערכים (מינוס או פלוס)!!!
ישנם (עד) שני פתרונות עבור משוואה ריבועית. זוכרים נכון?
בתא C16 מוחזרת תוצאת x1, התוצאה מחושבת בסימן מינוס משמאל לשורש. כלומר מדובר כאן על תוצאת "שורש ריבועי שלילי".
קוד:
=(-C14-SQRT(POWER(C14,2)-4*B14*D14))/(2*B14)ומאידך, בתא C17 מוחזרת תוצאת x2, התוצאה מחושבת בסימן פלוס משמאל לשורש. כלומר מדובר כאן על תוצאת "שורש ריבועי חיובי".
קוד:
=(-C14+SQRT(POWER(C14,2)-4*B14*D14))/(2*B14)פשוט וקל, נכון?
ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות והאופרטורים המתמטיים השונים.
לסיום, הנה כמה מילים (ממש בקצרה…) על גרף הפָּרָבּוֹלָה לגבי המשוואה הריבועית הנ"ל ופתרונותיה.
פרבולה היא פונקציה/גרף שהמשוואה שלה היא משוואה ריבועית/ממעלה שנייה. כלומר, יש לה שני פתרונות.
הנוסחה של הפרבולה היא:
קודקוד הפרבולה:
מציאת ערך ה X של קודקוד הפרבולה:
מצאנו, כי קודקוד x שווה ל 2.
מציאת ערך ה Y של קודקוד הפרבולה:
מצאנו כי קודקוד y שווה ל 25-
לסיכום: נקודת הקודקוד של הפרבולה היא: (25-,2)
מצוין, נתקדם עוד שלב…
מציאת נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר X:
למציאת נקודת החיתוך עם ציר x יש לפתור את המשוואה הריבועית.
לעיל, ביצענו זאת והתוצאות הן (במקרה שלנו):
פתרון 1 - x=7
פתרון 2 - x=-3
ידוע לנו עוד, כי אם נקודה נמצאת על ציר x, הרי שערך ה y שלה הוא = 0.
נמצא כי נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר האיקס הן: (3,0-) (7,0).
מציאת נקודת חיתוך של הפרבולה עם ציר y:
ידוע לנו עוד, כי אם נקודה נמצאת על ציר y, הרי שערך ה x שלה הוא = 0.
ולכן, נקודת החיתוך עם ציר y היא: (21-,0)
זו התוצאה הסופית של גרף הפרבולה עם כל הערכים שחושבו לעיל:
הגרף נבנה ועוּבַּד באמצעות האתר Symbolab
שימו לב כי פרבולה זו היא פרבולת "מינימום" כיוון שנקודת הקודקוד
נמצאת "הכי למטה".
הסיבה האמיתית לכך מתחילה בפרמטר a (דהיינו המקדם של x בריבוע במשוואה הריבועית).
וכאשר 0 < a (גדול מ 0) הפרבולה תהיה פרבולת "מינימום".
בסְלֶנְג של תלמידי התיכון פרבולה זו (בדוגמה שלנו) היא "מחייכת".
אתם יודעים מה, תנו חיוך גם אתם
כי הכול לטובה…
לינק לגיליון שיטס הכולל חישוב נוסחת השורשים עבור משוואה ריבועית - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 56 ▪︎ כך תוכלו לבדוק באקסל/גוגל שיטס - האם מילה X היא אָנַגְרָמָה של מילה Y ▪︎ ועוד כמה מילים אודות פונקציית SORT הנפלאה...
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 54 ▪︎ כמה מילים על הגדרת מספר זוגי ואי זוגי במתמטיקה ▪︎ ועוד כמה מילים על פונקציות EVEN & ISEVEN באקסל/גוגל שיטס...
