הנושאים החמים
תמונת מקור - Leonardo AI
המתמטיקאי, הפיזיקאי והפילוסוף הצרפתי זִ'יל אַנְרִי פּוּאַנְקָרֶה, זה שמתואר לעיתים "כאחרון האוניברסליסטים במתמטיקה" - כתב בספרו Science et méthode (בצרפתית. כלומר "מדע ומתודה" משנת 1908):
"מתמטיקה - היא האמנות של מתן אותו השם לדברים שונים". (La mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes)
אכן כן, עולם המתמטיקה מלא בחידות ובקשרים נסתרים.
יש רעיונות במתמטיקה שנראים בתחילה כשייכים לעולמות שונים. ציור גיאומטרי של מספרים, נוסחה אלגברית עם חזקות, וחישובים קומבינטוריים של בחירת עצמים. אך למעשה אלו הם ביטויים שונים של אותו רעיון יסודי המחבר את כל חלקי הפאזל לתמונה אחת אינטגרלית.
כזה הוא הקשר בין משולש פסקל, המקדם הבינומי, ונוסחת הבינום של ניוטון.
סקרנים לשמוע? קדימה התחלנו…
יומן מסע - חלק א:
תחילה נלמד על משולש פסקל ותכונותיו המתמטיות.
אז מהו בכלל משולש פסקל?
ובכן, משולש פסקל הוא סידור של מספרים בצורת משולש. כאשר בשורה העליונה מופיע "כקודקוד" העליון במשולש המספר 1 ובכל שורה מתחתיו מופיעים מספרים הנקבעים לפי 2 כללים פשוטים:
1.כל מספר בקצוות השורה הוא 1.
2. כל מספר פנימי מתקבל כסכום שני המספרים שמעליו בשורה הקודמת.
כך משולש פסקל נראה (התמונה חלקית בלבד):
או כך כמשולש "ישר זווית":
נ.ב התמונות הן צילומי מסך מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן. לא נכנסתי במסגרת מאמר זה לפרט על הדרך ליצור את המשולש בעזרת נוסחאות האקסל / שיטס. אך למי שירצה בכך - ניתן לראות את הנוסחאות בגיליון עצמו. בהצלחה!
משולש פסקל אינו המצאה ראשונית של המתמטיקאי, הפיזיקאי והפילוסוף הצרפתי בְּלֵז פַּסְקָל. למעשה, הוא היה ידוע כבר בימי הביניים למלומדים סיניים, הודיים ומוסלמים.
הסיבה שהמשולש נקרא על שמו היא - כי פסקל עסק בספרו Traité du triangle arithmétique (שיצא לאור בשנת 1655) בשימושיו של משולש זה שאותו כינה "המשולש האריתמטי" בתורת ההסתברות.
כך נראות השורות הראשונות במשולש פסקל:
שורה 0: 1
שורה 1: 1 1
שורה 2: 1 2 1
שורה 3: 1 3 3 1
שורה 4: 1 4 6 4 1
וכן הלאה…
יומן מסע - חלק ב:
אתחיל בדוגמה פשוטה:
נניח שיש לנו 4 כדורים בצבעים שונים בקערה. אדום, כחול, ירוק וצהוב. אנחנו רוצים לבחור 2 כדורים.
וכעת נשאל את עצמנו, בכמה דרכים נוכל לעשות זאת?
והתשובה היא - 6 דרכים כדלהלן:
אדום וכחול.
אדום וירוק.
אדום וצהוב.
כחול וירוק.
כחול וצהוב.
ירוק וצהוב.
שימו לב, כי בחישוב זה "אין חשיבות לסדר". לדוגמה, אין זה משנה אם הבחירה היא אדום וכחול או כחול ואדום. כי שתי הבחירות הן בחירה אחת. (בדומה לחוק "החילוף בכפל" שאין חשיבות לסדר "האיברים" במכפלה).
בקומבינטוריקה קוראים לחישוב הזה - מקדם בינומי.
"מקדם" - זהו מספר שנמצא לפני אות / משתנה כמו ה 3 בביטוי 3x. וכפי שהזכרתי במאמר כאן כאשר לא מופיע מספר משמאל למשתנה - המקדם הוא 1. תזכרו את הכלל הזה…
"בינומי" - מלשון בינום. ופירושו באלגברה "אלמנטרית" הוא שני שמות / שני איברים / שני "מונומים - משתנים" כמו בביטוי X+Y.
הבינום והטרינום הם פשוט "פולינומים" מיוחדים שמורכבים משני איברים (הבינום) או משלושה איברים (הטרינום).
"מקדם בינומי" - הוא בסך הכול מספר שאומר לנו בכמה דרכים שונות אנו יכולים לבחור מספר מסוים של פריטים (מה שמכונה בתורת הקבוצות "תת קבוצה") מתוך קבוצה גדולה יותר?
יומן מסע - חלק ג:
לאחר הבנת המונח המתמטי - מקדם בינומי נחזור למשולש פסקל. וכאן תגלו דבר נפלא מאוד.
כעת תבינו - מדוע השורות במשולש פסקל הן למעשה מקדמים בינומיים?
ראשית, נזכר קודם בשני הדברים שלמדנו לעיל.
משולש פסקל – הוא סידור של מספרים, שבו כל מספר פנימי הוא סכום שני המספרים שמעליו.
מקדם בינומי - הוא מספר הדרכים לבחור k איברים מתוך n איברים בלי להתחשב בסדר.
וכעת נראה למה בעצם אלו בעצם אותם מספרים?
מה מייצגת שורה מספר n במשולש פסקל?
נסתכל על שורה מספר 4 (למשל) במשולש פסקל:
1.4.6.4.1
השורה הזו מכילה 5 מספרים, וזה ממש לא במקרה:
מתחילים מ - 0 = k
ומסיימים ב - 4 = k
כאשר הצבת הערכים הם מימין לשמאל. כלומר:
0 = 1
1 = 4
2 = 6
3 = 4
4 = 1
כל מספר בשורה מתאים לערך אחר של k.
יומן מסע - חלק ד:
אתם יכולים לשאול. מהו סוד הקסם פה?
מדוע זה עובד כל כך נפלא ומדויק בכל שורה במשולש פסקל?
והתשובה היא:
והנה דוגמה לכך:
יומן מסע - חלק ה:
כעת נבין מדוע ניתן לכנות את משולש פסקל כטבלה "חזותית" של המקדמים הבינומים…
יומן מסע חלק ו:
אז לאחר כל ההקדמה הנ"ל. הנה סוף סוף נלמד יחד על "נוסחת הבינום של ניוטון" הנפלאה והעוצמתית ונראה איך היא קשורה בקשר אמיץ למשולש פסקל ולמקדם הבינומי.
יומן מסע - חלק ז:
אולי אתם שואלים את עצמכם. למה נוסחת הבינום של ניוטון חשובה ונחוצה?
וכי מה "כך כך גרוע" ליישם את הפתרון בדרך האלגברית.?
אך התשובה היא - שבדוגמה של החישוב של x+y בריבוע אכן קל מאוד לעשות (x+y) * (x+y) ולפתוח סוגריים ידנית, וכך לפתור את התרגיל.
אבל אם הדוגמה כאן הייתה (x+y) בחזקת 10 וכדומה פעולת הכפל הייתה אורכת זמן רב.
מאידך, נוסחת הבינום מאפשרת לנו לדעת בדיוק מה יהיה האיבר השביעי או העשירי מבלי לבצע את כל פעולת הכפל "הארוכה" מאוד….
נפלא מאוד!
יומן מסע - חלק ח:
אם אחזור לדברי המתמטיקאי הצרפתי פּוּאַנְקָרֶה שהובאו בתחילתו של מאמר זה, ראינו כיצד שלושה מושגים שלכאורה שונים הם למעשה חלקים של פאזל שלם:
1.מקדמים בינומיים - עונים על שאלות קומבינטוריות.
2. משולש פסקל - מארגן את המקדמים האלו בצורה ויזואלית ואינטואיטיבית.
3. נוסחת הבינום של ניוטון - היא הכלי האלגברי העוצמתי שמשתמש במקדמים האלה כדי לפתח בינום לחזקה כל שהיא ולהפוך אותו לפולינום מסודר.
המתמטיקה ביופייה…
המתמטיקה במלוא הדרה…
יומן מסע חלק ט:
עד כה ראינו בכל הקשור למקדמים הבינומיים את העיקרון שאין חשיבות "לסדר".
כעת, נלמד על עוד עיקרון / מושג נוסף וחשוב בכל הקשור למקדמים הבינומיים והוא "ללא חזרות".
במתמטיקה ובקומבינטוריקה, המושג ללא חזרות מתייחס למצב שבו לאחר שבחרנו פריט מסוים מתוך קבוצה "הוא יוצא מהמשחק" ואי אפשר לבחור בו שוב.
המקדם הבינומי מוגדר כבחירת k איברים מתוך n ללא חזרות וללא חשיבות לסדר.
חשוב לציין, כי בקומבינטוריקה ישנן נוסחאות למקרים בהם יש חשיבות לסדר (עם / בלי חזרות) וכן למקרים בהם יש חזרות ללא חשיבות לסדר. אך במסגרת מאמר זה לא אתעסק בכך ואי"ה עוד חזון למועד…
ורק אזכיר בסיכום קצר ונמרץ את הנוסחאות השונות. תן לחכם ויחכם עוד…
יומן מסע - חלק י:
להבדיל בין קודש לחול…נלמד כעת את לשונו של ספר יצירה (פרק ב' משניות ד' - ה') המיוחס לאברהם אבינו ע"ה:
"עשרים ושתים אותיות יסוד קבועות בגלגל ברל"א שערים וחוזר הגלגל פנים ואחור. וזהו סימן לדבר, אין בטובה למעלה מענג ואין ברעה למטה מנגע.
כיצד שקלן והמירן אל"ף עם כולם וכולם עם אל"ף, בי"ת עם כולם וכולם עם בי"ת וחוזרת חלילה. נמצא כל היצור וכל הדבור יוצא בשם אחד".
עכ"ל ספר יצירה.
וכתב רבינו אליהו מווילנא - הגר"א זצ"ל בפירושו על ספר היצירה (שם):
"וחוזר הגלגל פנים ואחור. הוא כמו שמפרש במשנה שאחריו שצירף הא' עם ב' כזה א"ב וכן עם כל האותיות והוא שער אחד. וכן א' עם ג' כזה א"ג וכן עם כל האותיות וכן ב' עם כל האותיות (וכן בכל האותיות), והם תס"ב שערים רק שהם כפולים א"ב ב"א שהם הכל מא' עם ב' וכן בכולם ולא יבאו מאותיות שונים רק חציים שהוא רל"א שערים וחציין יבאו בהיפך שהוא אחור וכל מה שיבאו האותיות כסדר הא"ב נקרא פנים ולמפרע נקרא אחור.
וכולן יבאו בגלגל זה כנגד זה רק שתשמור הסדר כזה שתצטרף הא' עם כל האותיות שאחריה כסדר והן כ"א צירופים ואח"כ הב' עם כל האותיות שאחריה והן כ' צירופים וכן הולך ומתמעט עד שהשי"ן אין לה צירוף אלא א' והתי"ו אין לה צירוף כלל בפנים שהוא אחור של כל האותיות
ובאחור תצטרף התי"ו עם השי"ן ואין להתי"ו צירוף קרוב יותר אלא השי"ן ואח"כ תצטרף התי"ו עם הרי"ש והשי"ן עם הרי"ש ויש לרי"ש ב' צירופין וכן הולך ומתרבה עד שלאל"ף יש כ"א צירופין ולא' אין להאחור כלל צירוף כנ"ל ובפנים הולך ומתמעט דשארי בפרודא וסיים בחיבורא ובאחור הולך ומתרבה להיפך דשארי כו'..." עכ"ל הטהור.
וזהו לשון הראב"ד ז"ל (בביאורו על ספר יצירה - שם) בביאור מהות הפנים ואחור של רל"א שערים:
"וחוזר הגלגל. פירוש הגלגל חוזר ומקיף והאותיות קבועות ואינן זזות ממקומן אותן האותיות אשר הציבן כמין חומה וקבען בגלגל חוזר גלגל מצד החסד לבריאתו ואחור מצד הדין והגבורה לסתור ולהחריב וכל פנים מצד הרחמים ואחור מצד הדין שלמטה, וכן ארז"ל שותף מדה"ר עם מדה"ד וברא את העולם.
ודע כי סדרי אותיות של צד פנים הם הפוכות מצד הדין הנקרא אחור, והמשל בזה אם תמצא בשלפנים א"ל תמצא בצד הדין הנקרא אחור ל"א וכן כולם.
הנה מכאן נתבאר לך כי יש אותיות קבועות והם בגלגל, ויש אותיות חוזרות ומתגלגלות והם באוירי הגלגלים של הספירות ויש סדר לבריאה ויש סדר הפוך לחרבן.
וסימן לדבר, של תמורה ושינוי והפך יולד מכח שינוי סדרי הגיון האותיות, כי הנה אותיות ענג הן אותיות נגע ונגע הוא צער ואין בטובה (חסד) למעלה מענג ואין ברעה (דין) למטה מנגע. וכולם אותיות אחדים הם אלא בשינוי סדרם ישתנה ענינם מרעה לטובה, מכאן יש להבין כי אותיות הפנים ואותיות אשר לאחור אחדים הם אלא שסדרי האותיות אשר לאחור הפוכים בסדרם מסדרי האותיות אשר לרחמים". עכ"ל.
ועיין בזוהר הקדוש בפרשת בראשית (דף ל"ג עמוד ב') שרמז לסוד רל"א צירופין של כ"ב אותיות התורה - פנים ואחור:
"רִבִּי יְהוּדָה אָמַר בְּאַתְוָון גְּלִיפָן דְּרִבִּי אֶלְעָזָר אִית קוּטְרֵי דְּאַתְוָון כ''ב קְטִירִין כְּחֲדָא. תְּרֵין אַתְוָון דָּא סָלִיק וְדָא נָחִית וּדְסָלִיק נָחִית וּדְנָחִית סָלִיק. וְסִימָן דָּא אַ''ךְ בָּ''ךְ אֵ''ל".
וסדר האותיות ושרטוט עמידת רל"א שערים דפנים ואחור נתבארו באורך רב במפרשי ספר יצירה (ועוד) זֶה בְּכֹה וְזֶה בְּכֹה כאשר הצד השווה שבכולן שהם רל"א שערים דפנים ורל"א שערים דאחור לא פחות ולא יותר.
ולחיבת הקודש, אביא לפניכם צילום מסך של תבנית הרל"א שערים מתוך הספר הקדוש "פרדס רימונים" לרבינו משה קורדובירו - הרמ"ק זצ"ל (דפוס קארעץ משנת תש"מ בפרק ל' שער ה'):
קרדיט צילום מסך - אתר Hebrewbooks
ואלו הם צילומי מסך ערוכים ומוצגים ויזואלית של הרל"א שערים פנים ואחור מתוך הגיליון שיטס המצורף בלינק להלן.
ודע עוד, דלא לחינם נתחבטו המפרשים לבאר את סוד עניינם ועמידתם של הרל"א שערים שכל אלו הן מכלל סודות תורתנו הקדושה שכידוע דבכ"ב אתוון דאורייתא נברא העולם וכל הפרטים כולם לאין קץ.
צא ולמד ממה שכתב האי חסידא קדישא רבינו הרמ"ק זצ"ל בספרו פרדס רימונים (פרק ל' שער א' בתחילתו) וזהו לשונו:
"ידיעת סודות תורתנו הקדושה הוא ע"י הצרופים והגימטריאות והתמורות וראשי תיבות וסופי תיבות ותוכי תיבות וראשי פסוקים וסופי פסוקים ודלוג אותיות וצרוף אותיות.
ועניינים אלו נשגבים ונעלמים, וסודם נשגבה, ואין בנו כח להשיגם לרוב העלמם, כי יתחלפו על פי דרכים אלו לאין סוף ולאין תכלית. ועל זה נאמר ארוכה מארץ מדה וגו'. וענינים אלו אנו מקוים שיתגלו אחר התחיה, אחר העכול החומר העכור, ואחר שיצרף הגוף הנגוף וישאר הצורה בחפץ יוצרה". עכ"ל הטהור.
נורא נוראות!!!
ולהבדיל… אם נרצה לבוא חשבון על פי חוקי ומשפטי הקומבינטוריקה שנתבארו לעיל נענה ונאמר כי:
הערך של "המקדם הבינומי" עבור -
22 = n
2 = k
הוא = 231
הנה הפירוט וההסבר לכך:
המשמעות הקומבינטורית היא - שישנן 231 דרכים שונות לבחור בכל פעם קבוצה של 2 פריטים מתוך מאגר של 22 פריטים שונים ללא חשיבות לסדר וללא חזרות.
אין כאן חזרות. והראיה לכך - שלא נמצא כאן צירוף של "אא" או "בב" וכדומה.
בכל הקשור לסדר, על פי החשבון הקומבינטורי יש כאן רק 231 צירופים - ללא חשיבות לסדר ותו לא!!!
ומה שמצינו כאן בחינת פנים ובחינת אחור הוא כפילות אותו עניין, כי יש בזה סוד דין ורחמים וכו' כפי שנתבאר לעיל בדברי הראב"ד ז"ל.
(וכאשר תחבר 231 + 231 של שתי בחינות דפנים ואחור יהא סכומם 462 במדויק כמנין "נתיב" ובסוד הפסוק הנאמר בספר איוב כ"ח,ז' "נָתִיב לֹא יְדָעוֹ עָיִט". ועיין עוד כאן במה שפירש בספר "מגלה עמוקות" לרבי נתן נטע שפירא זצ"ל)
אך על פי החשבון הקומבינטורי נטו אין כל הבדל אם הצירוף הוא "אב" או "בא".
וזהו שאנו אומרים שבמקדם הבינומי "אין חשיבות לסדר".
ונמצא, כי הכל שריר וקיים ומכוון יפה יפה בחשבון הצירופים.
ולית מידי דלא רמיזא באורייתא…
נפלא מאוד מאוד!
כעת, בואו ותראו איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
ובכן, לאחר שלמדנו את המשמעות המתמטית של המונחים משולש פסקל, מקדם בינומי ונוסחת הבינום של ניוטון ולאחר שלהבדיל…למדנו את דברי ספר יצירה על רל"א צירופים שבהם נברא העולם - הנה ההפתעה…
אם תרצו לבצע חישוב קומבינטורי שהוא ללא חזרות וללא חשיבות לסדר, תוכלו לבצע זאת בקלות באמצעות האקסל / גוגל שיטס.
כן.כן!
לפניכם צילום מסך מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן ובו 2 פתרונות לכך:
פתרון 1:
זו מבנה הפונקציה בתא B5:
קוד:
=COMBIN(B3,B4)תכירו, זו פונקציית combin הגאונית והנפלאה.
הפונקציה מובנית באקסל / שיטס. מה שהופך את החישוב לפשוט וזמין.
מבנה הפונקציה מורכב משני ארגומנטים חובה:
הארגומנט הראשון Number: כלומר, סך כל הפריטים בקבוצה שממנה אנו בוחרים.
בייצוג המקדם הבינומי - זהו המספר העליון בתוך הסוגריים n.
הארגומנט השני Number_chosen: כלומר, מספר הפריטים שאנו רוצים לבחור מתוך הכלל.
בייצוג המקדם הבינומי - זהו המספר התחתון בתוך הסוגריים k.
במקרה שלנו:
22 = n
2 = k
והתוצאה היא - 231 כלומר רל"א שערים.
פתרון 2:
זהו מבנה הפונקציה בתא B6:
קוד:
=FACT(B3)/(FACT(B4)*FACT(B3-B4))כזכור, במאמר בלינק כאן למדנו על פונקציית fact שמהותה היא חישוב עצרת.
בפתרון זה אנו "מתרגמים" את נוסחת המקדם הבינומי
והתוצאה גם כאן היא 231 כלומר, רל"א שערים.
נפלא מאוד!
ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות.
מקווה שנהניתם במסע הנפלא והמרתק לאורכו של מאמר זה…
לינק לגיליון שיטס אודות פונקציית COMBIN באקסל / גוגל שיטס (ועוד) - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 82 ▪︎ מסע מרתק בין "מַחְבָּרוֹת" של שבעת כוכבי הַלֶּכֶת לְעַרְמוּמִיּוּתוֹ של לבן הארמי ▪︎ נוסחת המקדם הבִּינוֹמִי - מאמר המשך
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 80 ▪︎ עֲצֶרֶת, פונקציית FACT (באקסל / גוגל שיטס) ומה שביניהם ▪︎ ואיך זה קשור למובא בספר יצירה?
