הנושאים החמים
תמונת מקור - Leonardo AI (סימולציה להתקבצות "הגדולה" של צדק ושבתאי שאֵירְעָה בתאריך 21/12/2020)
מאמר זה הִנּוֹ המשך ישיר למאמר שפורסם בלינק כאן, בו הוסבר על הקשר בין משולש פסקל, מקדם בינומי ונוסחת הבינום של ניוטון ועל יישום נוסחת המקדם הבינומי באקסל / גוגל שיטס בעזרת פונקציית combin.
במאמר זה נלמד יחד עוד 2 דוגמאות הקשורות לנוסחת המקדם הבינומי. האחת היא מרבינו אברהם אבן עזרא ז"ל בענין "מחברות" וצירופים של שבעת כוכבי לכת והשניה היא מהמהרי"ל דיסקין ז"ל בחשבון צירופים של תחבולות לבן הארמי שהֵתֶל ביעקב אבינו ע"ה "עשרת מונים" אשר שני גאוני עולם ועמודי ארץ אלו נתנבאו בסגנון אחד בחשבון הצירופים והקומבינטוריקה.
כמו כן, במאמר זה ישולבו דברי הסבר,המחשה וחישוב הן באמצעות נוסחאות מתמטיות מודרניות והן באמצעות פונקציות האקסל / גוגל שיטס.
וזה החלי בעזרת ה' יתברך.
דוגמה א':
אחד מחיבוריו הרבים של רבינו אברהם אבן עזרא ז"ל - "אחד היה אברהם" שהיה מגדולי רבותינו הראשונים וכל רז לא אניס ליה הוא "ספר העולם" (הספר זמין לקריאה ולהורדה כאן באדיבות אתר "היברובוקס"). ספר זה עוסק בחכמת "התכונה" כלומר, אסטרונומיה.
וזהו לשונו הזהב בפתיחתו של ספר העולם:
"והמחברות הם מאה ועשרים.
רבינו ז"ל שהיה בקי בחכמת האסטרונומיה השתמש בשיטת הצירופים לחישוב מספר ההתקבצויות השונות של שבעת גרמי השמיים אותן הוא מכנה "מחברות".
"התקבצות" (Conjunction) מתרחשת כאשר שני גרמי שמיים או יותר נראים קרובים מאוד זה לזה מנקודת המבט של צופה בכדור הארץ. למרות שהם נראים סמוכים, בפועל הם נמצאים במרחקים עצומים זה מזה בחלל, אך חולקים את אותו "קו ראייה".
בפסקה זו, רבינו ז"ל אינו עוסק בחישוב ההסתברויות והזמנים בשאלה כל כמה זמן והיכן תתרחש התקבצות של שני כוכבים או יותר (באסטרונומיה המודרנית, ישנם כמה סוגי חישובים ונוסחאות לכך והעיקריות שבהן הן - תקופה סינודית ושיטת ה-LCM אם כי גם על פי חישובים אלו מדובר על "ממוצע" בלבד מכמה סיבות. ראו כאן למשל.) אלא בחישוב קומבינטורי בלבד. כלומר כמה קומבינציות של התקבצויות ישנן ברמה התיאורטית.
ורבינו ז"ל בפתיחת דבריו כותב את סיכום החשבון שהוא 120 מחברות כלומר קומבינציות.וכעת מפרט את החשבון שלב אחר שלב.
וככה תוכל לדעת מספרם. ידוע כי כל חשבון שיחובר מאחד עד איזה מספר שירצה תוכל להוציאו מן ערכו אל חציו עם חצי אחד.
במאמר בלינק כאן כתבתי בהרחבה על הנוסחה לחישוב "טור חשבוני סופי" בניסוח המתמטיקה המודרנית.
כאן, רבינו ז"ל מציע לפתרון חישוב שונה (לכאורה…) והוא:
כי כל חשבון שיחובר מאחד (כלומר a1) עד איזה מספר שירצה (כלומר an) תוכל להוציאו מן ערכו (דהיינו n במכפלה) אל חציו (עם חציו כלומר n/2) עם (חיבור של) חצי אחד.(½).
בניסוח מתמטי:
במבט ראשוני, 2 נוסחאות אלו נראות שונות זו מזו. אך בעזרת "שינוי נושא נוסחה" נגלה כי בשתי הנוסחאות "השונות" קיים רעיון לוגי אחד.
מעניין אתכם? תקראו את ההסבר…
ודמיון זה, רצינו לדעת כמה מספר המחובר מאחד ועד עשרים, והנה נערוך עשרים על חציו שהוא עשרה ועל חצי אחד, והנה יעלה המספר מאתים ועשרה.
והנה נחל לדעת כמה יהיה מספר המחבר השניות והטעם שיתחברו שני כוכבים לבדם.
נַחְל - כמו נתחיל מלשון התחלה.
והיינו, כמה הם המפגשים האפשריים (צירופים) של שני כוכבים בלבד.
וידוע כי המשרתים הם שבעה.
הקדמונים סברו יש ישנם שבעה כוכבי לכת המקיפים את כדור הארץ (שנמצא במרכז על פי התפיסה "הגיאוצנטרית") והם שבתאי (Saturn), צדק (Jupiter), מאדים (Mars), חמה (Sun), נוגה (Venus), כוכב (Mercury), לבנה (Moon), וסימנך שצ"מ חנכ"ל.
והרמב"ם ז"ל (בהלכות יסודי התורה פרק ג' הלכה א') מנאם בפירוט הגלגלים וזהו לשונו:
"וְהַגַּלְגַּלִּים, הֶם הַנִּקְרָאִים שָׁמַיִם וְרָקִיעַ וּזְבוּל וַעֲרָבוֹת; וְהֶם תִּשְׁעָה גַּלְגַּלִּים--גַּלְגַּל הַקָּרוֹב מִמֶּנּוּ הוּא גַּלְגַּל הַיָּרֵחַ, וְהַשֵּׁנִי שֶׁלְּמַעְלָה מִמֶּנּוּ גַּלְגַּל שֶׁבּוֹ הַכּוֹכָב הַנִּקְרָא כּוֹכָב, וְגַלְגַּל שְׁלִישִׁי שֶׁלְּמַעְלָה מִמֶּנּוּ שֶׁבּוֹ נֹגַהּ, וְגַלְגַּל רְבִיעִי שֶׁבּוֹ חַמָּה, וְגַלְגַּל חֲמִישִׁי שֶׁבּוֹ מַאְדִּים, וְגַלְגַּל שִׁשִּׁי שֶׁבּוֹ כּוֹכָב צֶדֶק, וְגַלְגַּל שְׁבִיעִי שֶׁבּוֹ שַׁבְּתַאי, וְגַלְגַּל שְׁמִינִי שֶׁבּוֹ שְׁאָר כָּל הַכּוֹכָבִים שֶׁנִּרְאִים בָּרָקִיעַ, וְגַלְגַּל תְּשִׁיעִי הוּא גַּלְגַּל הַחוֹזֵר בְּכָל יוֹם מִמִּזְרָח לְמַעְרָב".
ודע עוד, שמבריאת העולם שנברא ביום רביעי, המזלות משמשים בכל שעה לפי הסדר מתחילת הלילה:
שעה ראשונה שבתאי. שניה צדק. שלישית מאדים. רביעית נוגה. חמישית חמה. שישית כוכב. שביעית לבנה, וחוזר חלילה (עיין במסכת ברכות דף נ"ט עמוד ב' ברש"י ז"ל ד"ה שבתאי).
ולדעת רבי חנינא בש"ס (מסכת שבת דף קנ"ו עמוד א') המזל המשמש בשעת לידת האדם משפיע על תכונותיו או על מה שיקרה לו.
לדוגמה, הנולד בשעת שבתאי יהיו מחשבתיו בטלים ויש אומרים מה שחושבים עליו יתבטל. הנולד בשעת צדק יהיה צדקן במצוות, הנולד בשעת מאדים יהיה שופך דמים, וכיו"ב.
והנה יש לשבתאי עם המשרתים שש מחברות.
דהיינו צירוף שבתאי צדק, שבתאי מאדים, שבתאי חמה, שבתאי נוגה, שבתאי כוכב, שבתאי לבנה.
הרעיון המתמטי כאן הוא. שלכוכב הבא שנבחר נותרו 5 אפשרויות (לדוגמא צדק. צירופיו הם צדק מאדים, צדק חמה, צדק נוגה, צדק כוכב, צדק לבנה. סה"כ 5 ואין במנין זה צדק שבתאי כיוון שהוא נמנה לעיל כשבתאי צדק והרי "אין חשיבות לסדר") למפגש עם שאר הכוכבים. וכך הסדר יורד עד ל 1.
והנה ששה על חציו וחצי אחד יעלה אחד ועשרים.
תוצאה זו היא בדיוק סך הטור החשבוני כאשר n = 6.
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
וככה מספר המחברות השניות.
ננסח את הבעיה והוכחתה בשפה מתמטית מודרנית:
מספר האפשרויות לצירוף של 7 איברים לקבוצות בנות 2 איברים הוא 21 - ללא חזרות וכאשר סדר האיברים לא משנה.
n = 7
k = 2
וכאן שואל התם, האם שיטת החישוב (עבור הקומבינציות האפשריות) של רבינו ז"ל שונה משיטת החישוב "המקובלת" באמצעות נוסחת המקדם הבינומי או שבעצם מדובר באותה שיטת חישוב?
והתשובה היא - שמדובר פה בשתי פנים של אותו מטבע והלוגיקה המתמטית היא אחת!
הנה ההסבר לכך:
נפלא מאוד! נכון?
וזה לא הסוף…
אם נתבונן שוב בשיטת החישוב של רבינו ז"ל נגלה כי מדובר פה בניתוח "רקורסיבי".
במתמטיקה ובמדעי המחשב רֵקוּרְסִיָּה (באנגלית: recursion) או בעברית "נסיגה" היא תופעה שמופע שלה מכיל מופע נוסף שלה, כך שהיא מתרחשת ומשתקפת בשלמותה בתוך עצמה.
"אלגוריתם רקורסיבי" הוא אלגוריתם אשר על מנת לפתור בעיה מסוימת, מפעיל את עצמו על מקרים "פשוטים" יותר של הבעיה.
בדרך כלל יכלול האלגוריתם "תנאי עצירה", שיביא להפסקת הרקורסיה ברמה שבה הפתרון נתון מראש, שאם לא כן תהיה זו לולאה אינסופית רקורסיבית.
במקרה שלנו, בכדי לחשב כמה "זוגות" יש, ביצענו סדרת פעולות של בחירת "בודד".
ההתחלה בבחירת שבתאי (נשארו 6 בודדים) ואז צדק (נשארו 5 בודדים) וכן הלאה עד שמגיעים לכוכב שאז נשאר רק 1 בודד לבנה.
"תנאי העצירה" פה הוא כאשר k=1 וכן n=k ואז התוצאה היא 1.
רצינו לדעת כמה השלישיות,
כלומר, כמה הם המפגשים האפשריים (צירופים) של שלושה כוכבים בלבד.
גם כאן מתגלה כוחו של שיטת רבינו ז"ל עם ניתוחו הרקורסיבי הגאוני.
הרעיון המרכזי פה (ובכל החישובים לקמן) הוא שעל מנת למצוא צירופים של שלישיות אנו מפרקים את הבעיה ומשתמשים בתוצאות של הזוגות (דהיינו k=2) שמצאנו קודם.
והנה החלונו ושמנו צדק עם שבתאי ועמהם אחד מן האחרים החמשה ויעלה המספר חמשה.
ערכנו אותו על שנים וחצי וחצי, עלו חמש עשרה.
אנחנו "מקבעים" את שבתאי וממילא נשארו 6 כוכבים. וכלפי ה 6 כוכבים אנו שואלים כמה זוגות (ולא שלישיות) ישנם ב 6 כוכבים?
והתשובה מתבססת על חישוב הקודם (כלפי k=2)
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
ומחברות מאדים שלושה ערכנום על שנים עלו ששה. ומחברת חמה שניים, ערכנום אל אחד וחצי עלו שלושה. ומחברת נוגה עם השפלים אחת והנה הכל חמשה ושלושים.
ואלה הם מספרי המחברות השלישות.
35 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15
ננסח את הבעיה והוכחתה בשפה מתמטית מודרנית:
מספר האפשרויות לצירוף של 7 איברים לקבוצות בנות 3 איברים הוא 35 - ללא חזרות וכאשר סדר האיברים לא משנה.
n = 7
k = 3
רצינו להוציא המחברות הרביעיות,
כלומר, כמה הם המפגשים האפשריים (צירופים) של ארבעה כוכבים בלבד.
והנה נחל משבתאי וצדק ומאדים עימו, ובעבור שצריך לשלושה שיתחברו עמו תחילת המחברת ארבעה. ערכנום על שנים וחצי, יעלו עשרה ואחר כך יהיו מחברת שבתאי וצדק עם האחרים ויהיו שלושה. ערכנום שניים על ששה והנה י"ו. ואחר כך נחל שבתאי עם מאדים ויהיו שניים ערכנום על אחד וחצי, עלו שלושה. ואחר כך מחברת אחת, והנה עלה מספר שבתאי עשרים מחברות. והנה יחל צדק משלושה ערכנום על שניים עלו שישה, ואחר כך מחברת אחת הנה ארבע מחברות. ומחברת חמה עם השפלים ממנה אחת. והנה הכל חמש ושלושים מחברות רביעיות.
החשבון על פי רבינו ז"ל הוא כך:
מקבעים כוכב אחד ובודקים כמה שלשות (מ k =3) ניתן ליצור מהנותרים.
עבור שבתאי - 20 (מתוך 6 כוכבים)
עבור צדק - 10 (מתוך 5 כוכבים)
עבור מאדים - 4 (מתוך 4 כוכבים)
עבור נוגה - 1 (מתוך 3 כוכבים)
35 = 1 + 4 + 10 + 20
ננסח את הבעיה והוכחתה בשפה מתמטית מודרנית:
מספר האפשרויות לצירוף של 7 איברים לקבוצות בנות 4 איברים הוא 35 - ללא חזרות וכאשר סדר האיברים לא משנה.
n = 7
k = 4
שימו לב, שהתוצאה עבור k=4 שווה לתוצאה עבור k=3.
זאת בגלל "חוק" / עקרון הסימטריה בקומבינטוריקה.
סימטריה בקומבינטוריקה פירושה שכל בחירה של קבוצה היא בו-זמנית בחירה של הקבוצה שנותרת בחוץ.
כאשר אנו בוחרים כוכבים מתוך n=7. אנו למעשה "מסמנים" n-k כוכבים שלא נבחרו. לכן, מספר הדרכים לבחור k פריטים תמיד יהיה שווה למספר הדרכים לבחור n-k פריטים.
ובמקרה שלנו k = 4:
שימו לב שעקרון הסימטריה תקף גם עבור החישובים הבאים:
זה פשוט נפלא וגאוני!
רצינו למצוא החמישית.
כלומר, כמה הם המפגשים האפשריים (צירופים) של חמישה כוכבים בלבד.
ומצינו לשבתאי חמש עשרה ולצדק חמש ולמאדים אחת, הנה עלו המחברות החמישיות אחת ועשרים.
החשבון על פי רבינו ז"ל הוא כך:
"מקבעים" כוכב אחד ובודקים כמה רביעיות (מ k =4) ניתן ליצור מהנותרים.
עבור שבתאי - 15 (מתוך 6 כוכבים)
עבור צדק - 5 (מתוך 5 כוכבים)
עבור מאדים - 1 (מתוך 4 כוכבים)
21 = 1 + 5 + 15
ננסח את הבעיה והוכחתה בשפה מתמטית מודרנית:
מספר האפשרויות לצירוף של 7 איברים לקבוצות בנות 5 איברים הוא 21 - ללא חזרות וכאשר סדר האיברים לא משנה.
n = 7
k = 5
והמחברות הששיות יש לשבתאי שש ואחת לצדק והנה שבע.
החשבון על פי רבינו ז"ל הוא כך:
"מקבעים" כוכב אחד ובודקים כמה חמישיות (מ k =5) ניתן ליצור מהנותרים.
עבור שבתאי - 6 (מתוך 6 כוכבים)
עבור צדק - 1 (מתוך 5 כוכבים)
7 = 1 + 6
ננסח את הבעיה והוכחתה בשפה מתמטית מודרנית:
מספר האפשרויות לצירוף של 7 איברים לקבוצות בנות 6 איברים הוא 7 - ללא חזרות וכאשר סדר האיברים לא משנה.
n = 7
k = 6
ומחברת השבעה אחת.
גם כאן ניתן לחשב על ידי "קיבוע" שבתאי ואז לבחור עוד 6 כוכבים מתוך ה 6 שנותרו ואכן יש רק דרך אחת כזו.
אבל יש כאן גם היגיון מאוד פשוט וברור "לעין". כאשר מבקשים לבחור 7 כוכבים מתוך 7 כוכבים, אין לנו דרך אחרת חוץ מלקחת את כולם.
בקיצור, יש רק דרך אחת למלא את הדרישה הזו!
ננסח את הבעיה והוכחתה בשפה מתמטית מודרנית:
מספר האפשרויות לצירוף של 7 איברים לקבוצות בנות 7 איברים הוא 1 - ללא חזרות וכאשר סדר האיברים לא משנה.
n = 7
k = 7
ועכשיו תראו דבר פלא…
אתם זוכרים את "משולש פסקל" שהסברתי אודותיו באריכות במאמר כאן?
יופי מצוין!
עכשיו תסתכלו על שורה 7 כלומר n=7 (אל תתבלבלו, "ראש הקודקוד" נחשב n=0…!)
רצף המספרים "המסתורי" הזה (כזכור, מימין לשמאל) הוא אותו רצף המספרים שהתקבל בנוסחאות המקדם הבינומי / בחישוב הרקורסיבי של רבינו ז"ל בכל החשבונות לעיל…(ולמרות שהחשבון של רבינו ז"ל מתחיל ב k=2, כבר הזכרתי לעיל שבמקרה כאן k=0 ערכו 1 ו k=1 ערכו 7).
האין זה פלא פלאים???
הוא אשר דיברתי (במאמר בלינק לעיל) שמשולש פסקל, נוסחת המקדם הבינומי (ובכלל זה האלגוריתם הרקורסיבי) ונוסחת הבינום של ניוטון - כולם מקשה אחת הן ושזורים זה בזה בקשר אדוק ואמיץ!
המתמטיקה במלוא הדרה…
לסיום, מסכם רבינו ז"ל:
והנה עלה המספר מאה ועשרים מחברות.
120 = 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21
וכל המחברות הם ממספר שאינו זוג ויתחלקו על שבעה".
כלומר, שכל תוצאות הצירופים (1.7.21.35) הם מספרים אי זוגיים ומתחלקים ב 7 (כלומר ללא שארית. ובהכרח שk=7 שערכו 1 אינו בכלל זה).
עד כאן לשון רבינו האבן עזרא וביאורו בס"ד.
לפני שאמשיך. הנה הארה חשובה לכולנו…
את הגאונות ועומק הפשט של רבינו האבן עזרא ז"ל בספריו התורניים (על התורה והנ"ך) - מכיר כל שוחר תורה ויודע ספר שזכו להיות מבאי בית המדרש.
וכידוע, "המפורסמות" אינם צריכים שום ראיה!
אך בתלמודא (מסכת ע"ז דף י"ט עמוד ב') אמרו רבותינו ז"ל "שאפילו שיחת חולין של תלמידי חכמים צריכה תלמוד".
ורבינו אברהם אבן עזרא ז"ל שהיה שלם בכל ה 7 חכמות חיבר חיבורים רבים הן בדקדוק והן באסטרונומיה ומתמטיקה.
ומן הפרט שנתבאר באריכות במאמר זה לעיל - יִלָּמֵד על הכלל…
צא ולמד, כמה כיוון רבינו בכל החישובים ושיטת הצירופים במילים ספורות של לשונו הזהב ובבחינת "גִּלָּה טֶפַח וְכִסָּה טִפְחַיִם" לכל הנוסחאות והשיטות שנתפרטו ונוסחו בעת "המתמטיקה המודרנית".
דעתו ורוחב שכלו של רבינו ז"ל עמוק עמוק מי ימצאנו ונתקיים בו הפסוק "וְאַבְרָהָם הָיוֹ יִהְיֶה לְגוֹי גָּדוֹל וְעָצוּם וְנִבְרְכוּ בוֹ כֹּל גּוֹיֵי הָאָרֶץ".
ועד כאן להארת הביניים החשובה לכל אחד ואחד מאיש הישראלי להפנימה ולשרשה בליבו תמיד.
וכעת, אחזור לעניין לעיל ולחשבונות הצירופים עבור 7 כוכבי הלכת.
באקסל / גוגל שיטס, נציב את הערכים בתאים ונחשב בעזרת פונקציית combin:
זהו מבנה הפונקציה בתא C2:
קוד:
=COMBIN(B2,A2)וזהו מבנה הפונקציה בתא C8:
קוד:
=SUM(C2:C7)"והנה עלה המספר מאה ועשרים מחברות".
נפלא ומדויק!
דוגמה ב':
בפרשת ויצא (בראשית פרק לא פסוק ז), יעקב אבינו ע"ה קרא לנשותיו - רחל ולאה ואמר להן:
"וַאֲבִיכֶן הֵתֶל בִּי וְהֶחֱלִף אֶת־מַשְׂכֻּרְתִּי עֲשֶׂרֶת מֹנִים וְלֹא־נְתָנוֹ אֱלֹהִים לְהָרַע עִמָּדִי".
ופירש בספר חידושי מהרי"ל דיסקין - על התורה (לרבי משה יהושע יהודה לייב דיסקין זצ"ל - "השרף מבריסק". עמודים 75-76 במהדורת ירושלים תשמ"ה):
"איתא בדברי חז"ל עשרת מונים עשרה פעמים עשרה שהם מאה.
ולהבין איך יתכן להחליף ולשנות בתנאי קצר כזה נקד וטלוא בעזים וחום בכבשים מאה פעמים?
יש לומר, דחמשה מראות נזכרו בפרשה:
א. עקד
ב. נקד
ג. טלוא
ד. ברוד
ה. חום.
כיון שראה לבן שהקב"ה ממלא רצון יעקב שהנולדים מן הצאן יולדו כרצונו, התחיל להתחכם להתנות עמו שהמראות יהיו מצורפין דהיינו שמהחמשה המראות הנזכרים לעיל יתחברו שנים מהם בצאן אחד, ואח"כ ישנה בשקר, פעם יאמר שיהיה עקד נקד, וכאשר יולדו כן יאמר התנתי שיהיה עקד טלוא. ואם אח"כ נולדו עקוד טלוא, אמר שיהיה עקוד ברוד. וכן שנה לעולם.
וידוע הדבר שמחמשה אותיות יכולין לחבר ולצרף עשרה תיבות שתהיה כל אחת משונה מחברתה.
1. אב 2. אג 3. אד 4. אה 5. בג 6. בד 7. בה 8. גד 9. גה 10 . דה
ועל דרך זה יש כאן עשרה מראות מצורפין:
עקד נקד ע"ט. ע"ב. ע"ח. נ"ט. נ"ב. נ"ח. ט"ב. ט"ח. ב"ח.
ומעתה תספור כן כבשים:
1. ע"נ 2. ע"ט 3. ע"ב 4. ע"ח 5. נ"ט 6. נ"ב 7. נ"ח 8. ט"ב 9. ט"ח 10. ב"ח
ובעיזים:
1. ע"נ 2. ע"ט 3. ע"ב 4. ע"ח 5. נ"ט 6. נ"ב 7. נ"ח 8. ט"ב 9. ט"ח 10. ב"ח
ודרך משל נאמר כן, שלבן התנה עמו כשיהיו נולדים צירוף 1 מן הכבשים דהיינו עקד-נקד וכמו כן צירוף 1 מן העזים, ואם לא יהיו נולדים כך לא יתן לו מאומה. וכשנולדו לו כן כמו שהתנה דהיינו ע-נ מן הכבשים וע-נ מן העזים, אמר לא כך אמרתי אלא צירוף 1 מן העזים וצירוף 2 מן הכבשים (כיון שיש שנוי בצירוף מראות הכבשים נפקעה זכות יעקב לגמרי גם מן העזים) וכשנולדו אח"כ צירוף 1 מן העזים וצירוף 2 מן הכבשים, אמר התניתי צירוף 1 מן העזים וצירוף 3 מן הכבשים, וכן שינה עד מספר 10 בכבשים.
הודה בתנאי העזים וכחש ושינה בתנאי הכבשים, ואח"כ אמר לא כן אמרתי אלא צירוף 2 מן העזים וצירוף 1 מן הכבשים.
והחליף כמו כן אצל הכבשים עשרה פעמים ועמד בתנאי העזים במספר 2 (ע"ט) עד שעשה עשרה חליפין אצל הכבשים ואח"כ התחיל במספר 3 מן העזים (ע"ב) ועמד בתנאי העזים ושינה בכבשים כמו ששינה מקודם, וכן לעולם עד מאה.
והרי לפניך הציור בפרוטרוט:
הרי יש כאן מאה תנאים בצירוף מראות שונים כל אחד משונה מחבירו".
עכ"ל המהרי"ל דיסקין ז"ל.
ננסח את הבעיה והוכחתה בשפה מתמטית מודרנית:
מספר האפשרויות לצירוף של 5 איברים לקבוצות בנות 2 איברים הוא 10 - ללא חזרות וכאשר סדר האיברים לא משנה.
n = 5
k = 2
באקסל / גוגל שיטס נציב את הערכים בתאים ונחשב בעזרת מכפלה של פונקציית combin:
זהו מבנה הפונקציות בתא B5:
קוד:
=COMBIN(B3,B2)*COMBIN(B3,B2)נפלא מאוד!
מצינו וראינו איך כל דברי רבותינו ז"ל אמת צדקו יחדיו והכל מדוקדק בתכלית הדקדוק גם על פי חשבון הצירופים והקומבינטוריקה…
ולית מידי דלא רמיזא באורייתא…
מה עמקו מחשבותם של רבותינו ז"ל!
וזהו המסר הכי חשוב במאמר זה - לחזק עצמנו ולִבֵּנוּ יותר ויותר באמונת חכמים בכל דברי רבותינו ז"ל שכל דבריהם אמת וצדק ונמסרו בקבלה עד למשה בסיני.
לינק לגיליון שיטס הכולל סימולציות לחישוב "מחברות" של גרמי שמים וכן לחישוב "עשרת מונים" באמצעות פונקציית COMBIN - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 83 ▪︎ יחס, פרופורציה ואקסל ומה שביניהם ▪︎ ואיך זה קשור למידות אורכן ורוחבן של מזבחות הנחושת שנעשו במשכן ובבית ראשון וקושיית הרמב"ן ז"ל?
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 81 ▪︎ כמה מילים על משולש פַּסְקָל, מקדם בִּינוֹמִי, נוסחת הַבִּינוֹם של ניוטון ומה שביניהם ▪︎ ועוד כמה מילים על פונקציית COMBIN הנפלאה
