אקסלומדע'ס פרק 83 ▪︎ יחס, פרופורציה ואקסל ומה שביניהם ▪︎ ואיך זה קשור למידות אורכן ורוחבן של מזבחות הנחושת שנעשו במשכן ובבית ראשון וקושיית הרמב"ן ז"ל?

תמונת מקור - Leonardo AI

השעה הייתה 6 בערב בבית משפחת לוין, מוישי ויוסי ישבו ליד השולחן בסלון, שיעורי הבית בחשבון כבר היו חתומים בתוך הילקוטים.

לפתח מוישי הוציא את הקלמר עם דף חשבון בודד והתחיל לצייר ריבוע קטן, מדויק, בגודל של שתי משבצות על שתי משבצות. לידו, הוא צייר ריבוע גדול בגודל שש משבצות על שש משבצות. לסימן היכר, מוישי סימן את מסגרות שני הריבועים בצבעים שונים.

"יוסי, תסתכל על שני אלו", אמר מוישי והצביע על הדף, "נכון שבעצם הם אותו דבר בדיוק?"

יוסי הסתכל על חברו בתמיהה ואמר: "מה פתאום אותו דבר? הריבוע הזה", הוא הצביע על הגדול, "הוא ממש גדול והקטן הזה? הוא פשוט קטנצ'יק, איך הם אותו דבר?"

"אני לא מתכוון לגודל שלהם", הסביר מוישי וניסה לדייק את המחשבה שלו. "אני מתכוון לזה שהם בנויים באותה צורה, תראה, בריבוע הקטן כל צד הוא בדיוק כמו הצד שלידו שווה בשווה ובריבוע הגדול, למרות שהוא נראה לך כזה גדול, עדיין כל צד הוא בדיוק כמו הצד שלידו, שווה בשווה".

יוסי מִצְמֵץ בעיניו ואמר: "נו ברור, בגלל זה קוראים להם ריבוע, אז מה?"

"אז זהו!" קרא מוישי בהתלהבות. "זה אומר שיש בהם משהו שהוא אחד מול אחד, לא משנה אם הריבוע הוא גדול או קטנצ'יק, הצדדים שלו מדברים אחד עם השני באותה שפה. הם תמיד שווים אחד מול אחד".

יוסי שתק לרגע, הביט בריבוע הגדול ובריבוע הזעיר של מוישי, "אה... אני חושב שאני מבין. אתה אומר שגם אם אחד מהם גדול ואחד קטן, המתכון שלהם הוא אותו מתכון. על כל סנטימטר פה, יש סנטימטר שם ועל כל מטר פה, יש מטר שם".

"מוישי, חברי היקר", המשיך יוסי. "בְּקִיצֶער, שנינו צודקים. אתה טוען טוב אבל גם אני טוען משהו נכון…".

"יש כאן צווי דינים", סיכם יוסי. "אם הנידון כלפי הגדלים האמיתיים של שני הריבועים, אז הם באמת שונים. ריבוע אחד הוא 2 על 2 וריבוע שני הוא 6 על 6. אבל אם הנידון הוא מבחינת המתכון, אז באמת לשני הריבועים יש את אותו מתכון".

"להתראות מוישי, שיהיה לך ערב טוב. נתראה מחר בחיידר", חתם יוסי.

"לאותו מתכון" שדיבר עליו יוסי שלנו יש שם פורמלי - מתמטי, קוראים לו - "יחס שווה", קרי פרופורציה.

יומן מסע - חלק א:

אז ראשית, הנה כמה מילים על המונח יחס (Ratio) ותכונותיו המתמטיות:

במתמטיקה, בגיאומטריה ובמדעים בכלל, יחס הוא - קשר מתמטי בין שני מספרים המציין את הגודל של אחד בהשוואה לשני.

במילים אחרות, היחס מתאר לנו פי כמה גדול או קטן גורם אחד מהגורם השני.

כיצד כותבים וקוראים יחס?

ובכן, בעברית אנו כותבים וקוראים מימין לשמאל ובמספרים הסדר הפוך. כלומר, המספרים נכתבים ונקראים משמאל לימין.

בכתיבת וקריאת יחס אנו מתאימים בין המילה הכתובה קודם בימין למספר המופיע משמאל. וכך נוצר מעין איקס.

לדוגמה:

יומן מסע - חלק ב:

תכונתו העיקרית של היחס הוא - הרחבה וצמצום.

יחס הוא ממש בדיוק כמו שבר ולכן ניתן לכפול או לחלק את שני אגפיו באותו מספר מבלי לשנות את ערכו.

על מנת לפתור שאלות בקלות, תמיד נשאף להגיע ליחס הקטן ביותר.

ולכן, נשאל את עצמנו מהו הגורם הגדול ביותר שניתן לחלק אותו את שני הגורמים ביחס ונגיע ליחס שווה אך מצומצם יותר.

יומן מסע - חלק ג:

כאשר נתון יחס, ניתן לדעת איזה חלק מהווה כל מרכיב מתוך השלם.

יומן מסע - חלק ד:

כאשר היחס בין שתי כמויות ידוע, אפשר לבטא את הכמויות בעזרת משתנה אחד (למשל X) המייצג את "גודל ההרחבה". כלומר, את המספר בו יש להרחיב את המספר המצומצם כדי למצוא את שני הגדלים.

יומן מסע - חלק ה:

לאחר שלמדנו מהו המונח יחס, נלמד על המונח פרופורציה (Proportion).

נכון, המילה הזו מוכרת לכולנו מחיי היום יום…

שאדם אומר לחברו "קח הכול בפרופורציה" הוא מתכוון לומר - קח את החיים / הסיטואציה ביחס הנכון. בלי להגזים.

זו בדיוק הגדרתו של המונח פרופורציה במתמטיקה - שוויון בין שני יחסים או יותר, כלומר, שני יחסים (או יותר) שהם זהים או שקולים.

לדוגמה: היחס 2:4 זהה ליחס 1:2 ולכן הם מהווים פרופורציה.

כיצד נבדוק אם מתקיימת פרופורציה בין יחסים?

התשובה היא - בדיוק כמו בפרק יחסים שווים, על מנת לבדוק אם יש יחס שווה – פרופורציה בין יחסים, נבצע צמצום ליחסים.

נצמצם אותם כמה שניתן (בעזרת המספר הגדול ביותר שניתן לחלק בו ללא שארית) ונראה אם נגיע לאותו היחס.

לדוגמה:

לפנינו היחסים הבאים. בדקו האם קיימת ביניהם פרופורציה.
א. 2:5
ב. 6:15

פתרון:

על מנת לבדוק האם בין היחסים קיימת פרופורציה – שוויון יחסים, נצמצם כל יחס עד כמה שניתן.

נתחיל ב- 2:5

יחס זה מצומצם כבר ואין אופציה לצמצם אותו מבלי לפגוע בשלמותו. לכן, נשאיר אותו כך.

כעת, נעבור ל- 6:15 ונשאל את עצמנו, האם נוכל לחלק את שני המספרים ביחס הזה באותו מספר ולהגיע ליחס מצומצם יותר?

והתשובה היא כן. שהרי גם 15 וגם 6 מתחלקים ב-3 ללא שארית. לכן, נחלק את שני הגורמים ב-3 ונקבל:

שימו לב, קיבלנו יחס זהה לחלוטין ליחס הראשון!

לכן, נוכל להגיד בוודאות שבין היחס 2:5 לבין היחס 6:15 מתקיימת פרופורציה.

יומן מסע - חלק ו:

הנה דוגמה שימושית לפתרון נעלמים בשברים:

יומן מסע - חלק ז:

לאחר שלמדנו על המונחים המתמטיים - יחס ופרופורציה, אי אפשר שלא להזכיר את המונחים "יחס ישר ויחס והפוך". הנה כמה מילים ודוגמאות על כך:

יחס ישר:

ההגדרה המהותית: יחס ישר מתקיים בין שני משתנים כאשר הגדלה של האחד פי מספר מסוים גוררת הגדלה של השני בדיוק באותו מספר.
באופן דומה, הקטנה של האחד תגרור הקטנה של השני באותו היחס.

מבחינה אלגברית, נאמר ש - y נמצא ביחס ישר ל - x אם מתקיים: y=k*x כאשר k הוא מספר קבוע שאינו משתנה (מכונה "קבוע היחס").

תכונה חשובה של יחס ישר היא שהמנה בין המשתנים היא תמיד קבועה:

y/x=k

ייצוגו הגרפי של יחס ישר יהיה תמיד קו ישר העובר דרך ראשית הצירים (0,0). הנקודה (0,0) היא קריטית – היא מסמלת שאם המשתנה הראשון הוא אפס, גם השני חייב להיות אפס.

דוגמה מהחיים - עבודה ושכר. נניח שסטודנט עובד בשכר שעתי של 50 ש"ח לשעה.
אם יעבוד שעה אחת (x=1), ירוויח 50 ש"ח (y=50).
אם הסטודנט יכפיל את שעות עבודתו ל-2 (x=2), שכרו יוכפל ל-100 ש"ח (y=100).
כאן, קבוע היחס k הוא 50 (השכר לשעה). ככל שעובדים יותר, מרוויחים יותר…

יחס הפוך:

ההגדרה המהותית: יחס הפוך מתאר קשר של "פיצוי". כאשר משתנה אחד גדל, המשתנה השני קטן באותו יחס, ולהיפך. זהו מצב שבו יש לנו "משאב מוגבל" שמתחלק בין משתנים. הגדלה של האחד חייבת לבוא על חשבון השני כדי לשמור על האיזון.

מבחינה אלגברית, נאמר ש-y נמצא ביחס הפוך ל-x אם מתקיים: y=k/x כאן, התכונה המרכזית היא שהמכפלה של המשתנים היא תמיד קבועה:

x*y=k

ייצוגו הגרפי של יחס הפוך נקרא היפרבולה. זוהי עקומה שאינה עוברת בראשית הצירים ולעולם אינה נוגעת בצירים. ככל ש-x שואף לאינסוף, y שואף לאפס, אך לעולם לא יגיע אליו.

דוגמה מהחיים - מהירות וזמן. דמיינו שאתם צריכים לנסוע מרחק קבוע של 100 קילומטרים.
אם תיסעו במהירות של 100 קמ"ש, תגיעו תוך שעה אחת (100=1*100).
אם תורידו את המהירות לחצי, כלומר 50 קמ"ש, זמן הנסיעה יוכפל לשעתיים (100=2*50).
כאן, המכפלה היא המרחק הקבוע (100). ככל שהמהירות גדלה, זמן הנסיעה קטן. זהו בדיוק משמעות היחס ההפוך.

לפניכם צילום מסך (מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן) המסכם וממחיש את המונחים יחס ישר ויחס הפוך בייצוג גרפי:

יומן מסע - חלק ח:

זוכרים את הסיפור הפיקנטי עם מוישי ויוסי בפתיחתו של מאמר זה?

כאשר יוסי אמר "שהמתכון" שלהם הוא אותו מתכון, הוא בעצם הגדיר מהו יחס.

כפי שלמדנו, יחס אינו כמות, אלא קשר בין כמויות.

בכל ריבוע, אם נסמן את צלע האורך ב- a ואת צלע הרוחב ב- b, תמיד יתקיים a=b.

הביטוי המתמטי של "שווה בשווה" שמוישי תיאר הוא היחס 1:1.

בכל תהליך של הגדלה או הקטנה של הריבוע, אנחנו משנים את הערכים המוחלטים של הצלעות, אך עדיין אנחנו שומרים על אותו היחס וזו בדיוק הנקודה פה!

ולהבדיל בין קודש לחול…

בפתיחתה של פרשת תרומה הקב"ה מְצַוֶּוה את משה רבינו ע"ה על בניית המשכן וכליו ושם (שמות כ"ה.ט') נאמר הפסוק:

"כְּכֹל אֲשֶׁר אֲנִי מַרְאֶה אוֹתְךָ אֵת תַּבְנִית הַמִּשְׁכָּן וְאֵת תַּבְנִית כָּל כֵּלָיו וְכֵן תַּעֲשׂוּ".

ופירש רש"י ז"ל: "וכן תעשו לדורות. אם יאבד אחד מן הכלים, או כשתעשו כלי בית עולמים, כגון שולחנות ומנורות וכיורות ומכונות שעשה שלמה, בתבנית אילו תעשו אותם.
ואם לא היה המקרא מחובר למעלה הימנו, לא היה לו לכתוב וכן תעשו, אלא כן תעשו, והיה מדבר על עשיית אהל מועד וכליו". עכ"ל רש"י ז"ל.

ואדוננו רבינו משה בן נחמן - הרמב"ן ז"ל הקשה על רש"י וזהו לשונו:

"ולא ידעתי שיהיה זה אמת שיתחייב שלמה לעשות כלי בית עולמים בתבנית אלו, ומזבח הנחשת עשאו שלמה עשרים אמה ארך ועשרים רחב". עכ"ל.

והיינו כמבואר בספר דברי הימים ב' (ד'.א') "וַיַּעַשׂ מִזְבַּח נְחֹשֶׁת עֶשְׂרִים אַמָּה אָרְכּוֹ וְעֶשְׂרִים אַמָּה רָחְבּוֹ וְעֶשֶׂר אַמּוֹת קוֹמָתוֹ".
וקושיית הרמב"ן שאם הכוונה בפסוק וכן תעשו דלדורות יעשו כאותה "תבנית מדויקת" שעשה משה במשכן. אם כן היה לו לשלמה המלך לעשות את מזבח הנחושת (ונקרא גם מזבח העולה / החיצון) במידות שעשאן משה. כלומר, חמש אמות אורך וחמש אמות רוחב כמבואר בפסוק של ציווי המשכן (שמות כ"ז. א') "וְעָשִׂיתָ אֶת הַמִּזְבֵּחַ עֲצֵי שִׁטִּים חָמֵשׁ אַמּוֹת אֹרֶךְ וְחָמֵשׁ אַמּוֹת רֹחַב רָבוּעַ יִהְיֶה הַמִּזְבֵּחַ וְשָׁלֹשׁ אַמּוֹת קֹמָתוֹ" ?

וליישב קושית הרמב"ן ז"ל נאמרו כמה וכמה תירוצים.

ורבי אליהו מזרחי זצ"ל (הרא"ם) בפירושו "מזרחי" על פירוש רש"י בתורה תירץ בביאור נפלא וזהו לשונו:

"מפני שאין פירוש כתבניתם כתבנית אלו כמידתם, אלא שיהיו צלעות שטחיהן מתדמות יחס האורך אל האורך כיחס הרוחב אל הרוחב, וכיון שיחס האורך של מזבח הנחושת של שלמה אל יחס האורך המקורי,
כיחס הרוחב של שלמה אל הרוחב המקורי, דימה שניהם בתבנית אחת, אעפ"י שזה של משה היה חמש על חמש, ושל שלמה היה עשרים על עשרים.
שאם הייתה זווית א"ב שווה לזווית ה"ו, ויחס א"ב אל ה"ו כיחס א"ד אל ה"ח, יקראו שני שטחי אבגד הוזח מתדמים, ואף על פי שהאחד גדול מהאחר, ויאמר עליהם שווים כתבניתם…"

ננסח את הבעיה ופתרונה בשפה מתמטית מודרנית:

כלשון רבינו הרא"ם זצ"ל:

"ואף על פי שהאחד גדול מהאחר, ויאמר עליהם שווים כתבניתם".

ולזה התכוון רש"י ז"ל "וכן תעשו לדורות…בתבנית אילו תעשו אותם" היינו שיחס המידות של כלי המשכן יהיה שווה.
ומיושב לשונו של רש"י ז"ל יפה יפה.

נ.ב ופירוש זה בדרך המתמטיקה והגיאומטריה נאה ויפה לרבינו הרא"ם ז"ל שאמרו. שכידוע, רבינו הרא"ם זצ"ל למד את חכמת המתמטיקה והאסטרונומיה מרבי מרדכי כומטיאנו זצ"ל (הזכרתיו במאמר בלינק כאן) ואף חיבר חיבורים בחכמת המתמטיקה (ספר המספר) ובחכמת האסטרונומיה (ביאור לספר אלמגסט - יצירת הפאר של האסטרונומיה היוונית הקדומה. הספר לא נדפס).

נפלא מאוד!

כעת, בואו תראו איך הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…

ובכן, לעיל נתבארו המונחים יחס ופרופורציה וכן את דרך ייצוגו של היחס כשבר (כך 1/1 או כך 1:1).

באקסל ובגוגל שיטס, אם תנסו לחשב יחס בין ערך א' לערך ב' בפעולת חילוק פשוטה, התוצאות יהיו בייצוג שבר עשרוני כפי שתוכלו להבחין בצילום מסך הנ"ל (מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן) בעמודה C.

זהו למשל מבנה הנוסחה בתא C2:

קוד:

=A2/B2

באקסל ובגוגל שיטס אין פונקציה מובנית למציאת ולייצוג יחס בין 2 ערכים.

ובכל זאת. זו משימה אפשרית!

פתרון 1:

זהו מבנה הפונקציות בתא D2:

קוד:

=SUBSTITUTE(TEXT(A2/B2,"#/#"),"/",":")

תפקידה של פונקציית text בקצרה הוא לבצע המרה של מספרים או ערכים אחרים לטקסט, תוך שימוש בקודי עיצוב כדי לשלוט באופן הצגתם.

כאן, "אנו אומרים" לפונקציה (בארגומנט הראשון) לבצע פעולת חילוק בין ערך שהוזן בתא A2 לערך שהוזן בתא B2.

ואז (בארגומנט השני) לבצע המרה למספר שהתקבל מהארגומנט הראשון לפורמט "#/#".

רגע רגע…מה זה בכלל סימון הסולמית # ומה תפקידו?

אני אסביר…

הסימון סולמית מציין "מיקום" לספרות, כלומר כמה ספרות מכיל הערך המוחזר על ידי הפונקציה.

כאן, אנו נגדיר שהתוצאה תוחזר כספרה אחת (זו המשמעות לסולמית אחת בלבד) בייצוגו של המונה וספרה אחת בייצוגו של המכנה וביניהם (דהיינו בין המונה למכנה) יהיה לוכסן (כזה /) המייצג קו שבר כידוע.

ואז…?

קורה תהליך נפלא. רוצים לשמוע?

ובכן, "הדרישה הייחודית" שלנו "מאלצת" את פונקציית text "לצמצם" את השבר העשרוני לשבר רגיל שיהא בו ספרה אחת במונה וספרה אחת במכנה.

שימו לב כי גם כאשר מדובר בשבר עשרוני שאינו שבר שניתן לייצגו באופן מדויק בספרה אחת (למשל 0.33), הפונקציה "תנסה" למצוא את השבר הקרוב ביותר. (⅓).

לאחר מכן, פונקציית substitute הנפלאה (בלינק כאן הסברתי אודותיה בהרחבה) מבצעת המרה מלוכסן לנקודותיים.

והתוצאה היא 1:2

פתרון 2:

בפתרון זה מבצעים בעמודה (במקרה שלנו מדובר בעמודה E) פעולת חילוק פשוטה ומגדירים את טווח התאים או את כל העמודה (לאחר סימון) בפורמט "עיצוב תאים" של #/#.

באקסל:

יש ללחוץ על Ctrl + 1 כדי לפתוח את תיבת הדו שיח עיצוב תאים > מספר > לבחור וללחוץ על "מותאם אישית" > לסמן את הפורמט #/# > אישור.

בגוגל שיטס:

בתפריט העליון יש ללחוץ על פורמט > לגלול למטה ולבחור "תבנית מותאמת אישית של מספרים" > בתיבת טקסט שתיפתח יש להזין #/# > החלה.

והנה "הדובדבן שבקצפת"...

תוכלו להבחין בצילום מסך הנ"ל בשורות 9 - 10 בסימולציה למציאת היחס בין מידות (אורך ורוחב) מזבח הנחושת שנעשה במשכן לבין מידות מזבח הנחושת שנעשה בבית ראשון.

והתוצאות:

בפתרון 1 - 1:1

ובפתרון 2 - 1/1

כמו שפירש הרא"ם ז"ל:

"שאין פירוש כתבניתם כתבנית אלו כמדתם שיהו צלעות שטחיהן מתדמות יחס האורך אל האורך כיחס הרוחב אל הרוחב וכיון שיחס האורך של מזבח הנחושת של משה אל האורך של מזבח הנחושת של שלמה הוא כיחס הרוחב אל הרוחב דמה שניהם בתבנית אחת אעפ"י שזה של משה היה ה' על ה' ושל שלמה היה עשרים על עשרים…"

ואם כן נמצאו דברי רש"י ז"ל שביאר "וכן תעשו - לדורות…בתבנית אילו תעשו אותם" נהירין ומבוארים יפה יפה.

נפלא מאוד!

לינק לגיליון שיטס הכולל 2 דרכים לייצוגו של "יחס" בתאי האקסל / גוגל שיטס - מצורף כאן.