אקסלומדע'ס פרק 84 ▪︎ בביאור מה ששנו חז"ל "הרוצה לידע כמה גובהו של דקל מודד קומתו וצלו וצל קומתו וידע כמה גובה של דקל" ▪︎ "הפך בה והפך בה דכולה בה"

תמונת מקור - Leonardo AI

רבותינו ז"ל אמרו בברייתא (בבלי - מסכת עירובין דף מ"ג עמוד ב') :

"הָרוֹצֶה לֵידַע כַּמָּה גּוֹבְהוֹ שֶׁל דֶּקֶל, מוֹדֵד קוֹמָתוֹ וְצִלּוֹ וְצֵל קוֹמָתוֹ וְיֵדַע כַּמָּה גּוֹבַהּ שֶׁל דֶּקֶל".

ופירש רש"י ז"ל:

"גובהו של דקל - ומתיירא לעלות בו ולמודדו.

ימדוד צלו - של דקל.

וצל קומתו - של עצמו ופעמים שהצל רבה על המיצל ופעמים שהמיצל רבה על הצל כשחמה עומדת בגובה הרקיע צל כל דבר הוי קטן וכשחמה בשיפולו הוי צל ארוך הלכך מודד אף צל קומתו ולפי מה שיראה שירבה צל קומתו על קומתו ידע שריבוי צל הדקל על הדקל או כפלים או שליש או רביע". עכ"ל.

ורבי שלמה לוריא ז"ל (המהרש"ל) הוסיף לבאר (שם) בדברי רש"י וזהו לשונו:

"רש"י בד"ה וצל קומתו כו' ולפי מה שיראה שירבה כו'. נ"ב והוא הדין כשיתמעט. וקל להבין".

במילים ספורות אלו רבותינו ז"ל שכל רז לא אניס להו יעצו עֵצָה עמוקה כיצד למדוד גדלים שאינם ניתנים למדידה ישירה (מחמת גובהם וכדומה, ועיין עוד במאמרו הנפלא של ד"ר משה רענן בלינק כאן המונה מספר סיבות אפשריות המניחות את הדעת לשאלת הצורך החקלאי במדידת עץ דקל - תמר ) במדידה עקיפה המבוססת על עקרונות של "יחס ופרופורציה" שנתבארו באריכות במאמר כאן - עיין שם.

אני אסביר ואפרש בס"ד את החשבון והלוגיקה שבו שלב אחר שלב.

יומן מסע - חלק א:

השרטוט הנ"ל ממחיש "משולש בתוך משולש" כאשר:

המשולש "הגדול" מורכב מהצלעות:

הניצב AB = גובה הדקל.

הניצב BC = אורך צל הדקל על פני הקרקע.

היתר AC = קרן שמש שמגיעה מקצה הדקל לקצה הצל.

כאשר האדם עומד בתוך מקטע המשולש הגדול במידה מכוונת ומדויקת שקצה הצל שלו מסתיים בקצה צל הדקל - נוצר כאן עוד משולש קטן בתוך המשולש הגדול.

המשולש "הקטן" מורכב מהצלעות:

הניצב EF = גובה האדם.

הניצב FC = אורך צל האדם על פני הקרקע.

היתר EC = קרן שמש שמגיעה מקצה האדם לקצה הצל.

שימו לב כי שני המשולשים הם משולשים ישרי זווית, כך שבהכרח בכל משולש ישנה זווית אחת בעלת 90 מעלות.

נקודה חשובה:
במדידת אורך צל הדקל ניתן להפריד את המשולש הקטן מהמשולש הגדול (על ידי הסטת האדם לימינו או לשמאלו) ולבצע חישוב.
גם במדידה שכזו העקרון של "דמיון משולשים" יהיה תקף לחלוטין מהסיבה שקרני השמש מקבילות זו לזו, ולכן הן "חותכות" את הקרקע ואת הגובה האנכי של העצמים כך שערך זווית אלפא יהא זהה לאדם ולדקל כאחד. כמו כן משפט היחס (שיתבאר להלן) יהיה תקף לחלוטין.

יומן מסע - חלק ב:

וכעת, לאחר שלמדנו היטב מהו "יחס", נשאל את עצמנו האם המשולש הגדול והמשולש הקטן דומים זה לזה ביחס שווה או לא?

התשובה היא:

בגיאומטריה "אוקלידית", על פי "משפט זווית - זווית" (בדמיון משולשים) ניתן להסיק כי שני המשולשים דומים.

מה הכוונה?

על פי משפט זווית זווית (הנקרא בקיצור ז.ז) מספיק לבחון שתי זווית בלבד (באותם "מיקומים") בשני המשולשים ואם הן שוות אין צורך לבחון את הזווית השלישית האם היא שווה או לא. אם כי ברור הוא שכאשר בשני המשולשים שתי הזווית שוות - גם הזווית השלישית תהיה בהכרח שווה.

יצאנו לבדוק…

יומן מסע - חלק ג:

מכיוון שהמשולש הקטן מצויר בתוך המשולש הגדול ונשען על אותן צלעות, הזווית אלפא נוצרת מאותם שני ישרים ולכן היא "משותפת" לשני המשולשים.
הנה, כבר מצאנו דמיון בזווית אחת - אלפא.

והזווית השנייה?

אתם זוכרים שבמקרה שלנו, שני המשולשים מוגדרים "ישרי זווית".

הזווית הישרה בת 90 מעלות נוצרת בין הגובה (של הדקל או האדם) לבין הקרקע.
זווית גמא בשני המשולשים היא זהה (ולא משותפת…שימו לב להבדל!) וערכה ברור ללא שום צורך בחישוב נוסף = 90 מעלות.

נהדר! מצאנו שתי זווית שוות בשני המשולשים ומכאן שעל פי משפט ז.ז שני המשולשים דומים.

משמעות הדמיון בין שני המשולשים היא:

יומן מסע - חלק ד:

עד כה לא הוצבו שום ערכים במשולשים, אנחנו נציב כעת ערכים (אלו שידועים לנו - נכון לשלב זה) בנוסחה ונחשב:

כפי שראיתם צלע AB הוא נעלם (משתנה) ואותו נכנה - X.

הפתרון למציאת ערכו של הנעלם טמון בעקרון המשוואה הנ"ל של "יחס הדמיון" וביישום טכניקת "כפל בהצלבה" שנתבארה במאמר בלינק כאן (חלק ו').

ניתן גם לנסח את הנוסחה "העיקרית" למציאת צילו של הדקל כך:

גובה = height
צל = shadow

בנוסחה אנו מבטאים את הגובה כ h או H ואת הצל כ s או S. (האות הגדולה מבטאת את הצל / הגובה "הגדול" וכן להיפך).

יומן מסע - חלק ה:

החישוב תם אך לא נשלם…

שימו לב שבנוסחה מתקיים יחס השוויון כלפי AC/EC.

צלע היתר של המשולש "הגדול" = AC
וצלע היתר של המשולש "הקטן" = EC

הקסם פה הוא שאם "נגלה" את ערכו של היתר באחד מהמשולשים נסיק את ערכו של המשולש השני.

במקרה שלנו - יחס הדמיון הוא 6!

תזכרו את זה היטב!

וזה אומר שכל שלושת הצלעות של המשולש הגדול הן פי 6 מצלעותיו של המשולש הקטן. וכן להיפך, כל שלושת הצלעות של המשולש הקטן הן ⅙ מצלעותיו של המשולש הגדול.

אמרנו יתר במשולש = אמרנו "פיתגורס"...

כולכם זוכרים את "משפט פיתגורס" - אודותיו כתבתי באריכות במאמר בלינק כאן.

נכון? מצוין!

יצאנו לבדוק…

יומן מסע - חלק ו:

נ.ב באופן רנדומלי לגמרי החישוב כאן יתבצע במשולש הגדול ומכך נסיק את היתר של המשולש הקטן….

נפלא, נכון?

יומן מסע - חלק ז:

נכון לשלב זה, "המנה העיקרית" הושלמה…אבל אתם יודעים מה רגילות בני אדם לומר? - שלקינוח יש תמיד מקום (בבטן)...(ובאגב, מקור משפט זה נזכר בדברי רבותינו ז"ל במסכת מגילה דף ז' עמוד ב' שאמר אביי "היינו דאמרי אינשי…רַוְוחָא לִבְסִימָא שְׁכִיחַ" עיין שם).

כן, גם אנו נמשיך "לקינוח" מתוק וטעים ונצלול בעולם הטריגונומטריה ונחשב את יחסן וגודלן של הזוויות בשני המשולשים.

כזכור לעיל, זווית גמא היא 90 מעלות הן במשולש הגדול והן במשולש הקטן.

כלפי הזווית אלפא נוכל לחשב את היחס - הן באמצעות פונקציית sin והן באמצעות פונקציית cos (הואיל וערכו של היתר חושב וידוע לנו) והן באמצעות פונקציית tan.

התוצאות כאן משקפות את "היחס בין הצלעות".

פונקציית sin מחזירה את היחס בין הצלע מול הזווית לצלע היתר.

פונקציית cos מחזירה את היחס בין הצלע ליד הזווית לצלע היתר.

פונקציית tan מחזירה את היחס בין הניצב מול הזווית לניצב ליד הזווית.

יומן מסע - חלק ח:

על מנת "לגלות" את גודלה של הזווית אלפא נחשב בעזרת הפונקציה "ההופכית" דהיינו מינוס 1 למעלה.

בעולמה של הטריגונומטריה, הפעולה הזו נקראת "אַרְק" (arcsin, arccos, arctan).

במחשבון מדעי - כפתור ה- shift אומר למחשבון "אל תעשה את הפעולה שכתובה על הכפתור אלא את הפעולה ההפוכה שכתובה מעליו".

ומכאן שערכה של הזווית אלפא המשותפת לשני המשולשים הוא 30.96 מעלות (בקירוב).

ומה בקשר לזווית בטא?

התשובה היא פשוטה:

כיוון שסכום הזווית במשולש הוא 180 מעלות. נחסר את סכומן של שתי הזווית הידועות לנו ונקבל את ערכה של הזווית השלישית.

59.04 = 30.96 - 90 - 180

יומן מסע - חלק ט:

שימו לב, כי אורך הצל תלוי בגובה של השמש מעל לאופק.

בבוקר ובערב - השמש "נמוכה" וככל שזווית השמש קטנה יותר (מתקרבת ל 0 מעלות) הצל הופך לארוך יותר.
בצהריים השמש "גבוהה" וככל שהשמש מתקרבת לזווית של 90 מעלות (מעל לראש) הצל מתקצר.(וישנם גם השפעות מעונות השנה - קיץ / חורף ואכמ"ל).

במקרה שלנו, גובה הדקל אינו משתנה לאורך שעות היום. מה שכן משתנה זהו אורך הצל שמושפע מגובהה של השמש ומיקומה בעת המדידה.

כאשר BC גדל בחצי (27 = 9 + 18), זווית אלפא "נפתחת" פחות והופכת לקטנה יותר.

התוצאה: הזווית תקטן מ 30.96 ל 21.80 מעלות.

כאשר BC קטן בחצי (9 = 9 - 18), זווית אלפא "נפתחת" יותר והופכת לגדולה יותר.

התוצאה: הזווית תגדל מ 30.96 ל 50.19 מעלות.

רק כאשר BC יהיה שווה באורכו ל AB כלומר 10.8 - זווית אלפא (וכן זווית בטא) תהא 45 מעלות בדיוק (ויהא "דינו" של משולש זה כמשולש "שווה שוקיים". אם קשה לכם לדמיין את זה, תחשבו על ריבוע שנחתך באלכסון לשני חצאים והופך לשני משולשים ישרי זווית שהם גם משולשים שווה שוקיים).

שהרי:

אין צורך להזכיר כי כל החישובים כלפי השינוי באורכו של צלע BC (המושפע מגובה השמש ברקיע) תקפים כלפי צלע FC (כלומר צלע המהווה מצילו של האדם). שהרי הזווית אלפא היא אחת בשניהם.

וזהו פשוט וברור…

יומן מסע - חלק י:

ומעתה נהירין ומבוארים יפה יפה דברי רש"י ז"ל בסוגיין שפירש "לפי מה שיראה שירבה צל קומתו על קומתו ידע שריבוי צל הדקל על הדקל או כפלים או שליש או רביע" וכתב המהרש"ל ז"ל "והוא הדין כשיתמעט".

והיינו כמו שמצינו ולמדנו בכל הנ"ל בחישובי "ארק - טנגנס" עבור זווית אלפא.

נפלא מאוד מאוד!

ואחרי הודיעי אתכם את כל זאת, אל יעלה במחשבותינו ודעתנו כי חס וחלילה חז"ל הקדושים באו ללמד ולהדריך את האדם בחכמת המדידה והגיאומטריה וזו הייתה מטרתם. שזהו מחשבת הבל ופיגול ובאה למעט מערכם וכבודם של רבותינו ז"ל הקדושים.

כי אף על פי שאין המקראות יוצאים מידי פשוטם וחז"ל ידעו את כל החכמות כולם בתכלית השלמות מכוח התורה הקדושה ודבריהם ישרים, נכונים ומדוקדקים גם בפשוטם של דברים על פי החשבון (וכל האריכות לעיל זו דוגמה קטנה לכך מיני רבבות) - צריך לידע שחז"ל הקדושים דיברו וכיוונו בכל דבריהם רק לסיבה הרוחנית ובסודם של דברים.

וכבר צווח על כך מאור עיניהם של ישראל - רבינו המהר"ל מפראג זצ"ל בספרו "באר הגולה" (תחילת באר השישי והבאתי את תמצית דבריו במאמר כאן) וזהו לשונו:

"כי לא באו חכמים לדבר מן הסבה הטבעית כי קטון ופחות הסבה הטבעית, כי דבר זה יאות לחכמי הטבע או לרופאים לא לחכמים, אבל הם ז"ל דברו מן הסבה שמחייב הטבע. והמכחיש דבר זה מכחיש האמונה והתורה…

אבל הדבר הוא כך, שהסבה אשר נתנה התורה הוא הסבה שלכל דבר יש סבה טבעית מחייב אותו, ועל אותה הסבה הטבעית יש סבה אלקית והוא סבת הסבה ומזה דברו חכמים. כי לאדם אל צורתו ומספר אבריו יש סבה טבעית, שאין ספק כי יש לדבר זה פועל טבעי, ומכל מקום יש לאותה סבה סבה אלוקית שעל סבת הסבה אמר ויברא אלקים את האדם בצלמו בצלם אלקים ברא אותו.

ולכך החושבים עליהם כי רצו הם ז"ל להעדיר הסבה הטבעית ולכך לא רצו בסבה שנתנו הם ז"ל דבר זה הוא שוא. אמנם גם סבת הסבה שנתנו הם ז"ל לא עמדו על דבריהם להבין דבריהם כי רחקו ממנה, וזה כי לקחו דבריהם בהבנה ראשונה מבלי שנתנו לב להבין אמתת הדברים כי דבריהם הם בנסתר ובנעלם ולכך דברו עליהם עתק, וכן בסבות שנתנו בחכמה הלימודית אין הדברים סבה ראשונה רק סבת הסבה". עכ"ל

ואף בסוגיין, צא ולמד מה שפירש רבינו יוסף חיים מבגדאד זיע"א בעל "הבן איש חי" בספרו "בן יהוידע" (על הש"ס - בסוגיין) בדרך הסוד וזהו לשונו:

"ידוע מה שכתב מא"א ז"ל דמט"ט נקרא דֶּקֶל. גם ידוע מה שכתב רבינו ז"ל (בשער הכוונות) דמט"ט הוא בששה קצוות דיצירה ולכן יש בו ששה אותיות כנגד ו"ק דיצירה עיין שם. גם ידוע דמט"ט מספרו כמספר שד"י ולזה אמר רבותינו ז"ל שמו כשם רבו. גם ידוע מ"ש בעץ חיים שער השמות דשם שדי בששה צרופיו הוא סוד הציצית דמט"ט, ושם מפורש החשבון לנכון ע"ש. נמצא סוד הציצית דמט"ט הוא בשם שדי, ולכן מספר שם מט"ט עולה שדי [314]
וז"ש הָרוֹצֶה לֵידַע גָּבְהוֹ שֶׁל דֶּקֶל הוא מט"ט הנקרא דקל, אם תרצה לידע מעלתו, תִּמְדֹּד צִלּוֹ הוא שם שדי שהוא סוד הציצית דמט"ט, ולהכי קרי ליה צִלּוֹ כי הוא רמוז במספר שמו של מט"ט ובזה תבין מעלתו, גם עוד תִּמְדֹּד צֵל קוֹמָתוֹןח שהם ששה קצוות דעולם היצירה כי עד סוף ו"ק דיצירה היא קומת מט"ט, ותמצא גם כן זה המספר של קומתו שהוא ו"ק דיצירה גם כן רמוז בשמו הטוב, וכמו שכתב רבינו זלה"ה דבשם מט"ט יש ששה אותיות לרמוז שהוא בששה קצוות דיצירה ודוק." עכ"ל הטהור ועיין שם שפירש את הסוגיה גם בדרך הרמז והמוסר.

והבאתי את פירושו ולשונו ז"ל אע"פ שאין אנו מבינים ויודעים בסתרי חכמה וכבוד אלוקים הסתר דבר, רק ולמען תחזינה עיננו שכל סוגיה זו מתפרשת יפה בעומקם ובסודם של דברים על דרך הקבלה.

ובמתניתין מסכת אבות (פרק ה' משנה כ"ב) איתא:

"בֶּן בַּג בַּג אוֹמֵר. הֲפֹךְ בָּהּ וַהֲפֹךְ בַּהּ, דְּכֹלָּא בַּהּ".

ופירש רבינו המהר"ל מפראג בספרו "דרך חיים" (על מסכת אבות - שם) וזהו לשונו:

"דבר זה צריך פירוש איך נמצא בתורה הכל שאמר דכולה בה.

ודבר זה רמזו במדרש (ב"ר פ"א) ואהיה אצלו אמון אל תקרי אמון אלא אומן שהיה הקב"ה מביט בתורה וברא את העולם עד כאן. וכבר בארנו כי התורה היא הסדר השכלי שסדר הש"י סדר הנהגתו של אדם, ומתחייב זה הסדר מאתו בראשונה. ולפיכך נקראת התורה שהיא סדר האדם ראשית שנאמר ה' קנני ראשית דרכו, ולפי סדר התורה סידר הש"י סדר העולם עד שהכל נמשך אחר התורה. כי כך ראוי שהאדם הוא יותר במעלה על כל העולם כי בשביל האדם נברא הכל, ולפיכך אחר תורת האדם וסדר שלו נמשך סדר העולם כי ברא הש"י העולם לפי מה שראוי אל סדר האדם.
וזה שאמר שהיה מביט בתורה וברא העולם כי אחר סדר התורה נמשך סדר העולם.

וזה שאמר הפוך בה דכולא בה, כלומר כאשר ישיג בתורה הנה הוא משיג בכל סדר המציאות, אחר כי דרכי העולם הזה יוצאים מן דרכי התורה וקשורים דרכי העולם עם דרכי התורה עד שהכל יוצא מן התורה שהיא סדר האדם, נמצא כי הכל הוא בתורה. ואע"ג שכאשר מתעסק בתורה אינו מבין הדברים ההם איך יוצא הכל מן התורה סוף סוף הוא מתעסק בדבר שיש לו מעלה עליונה דכולא ביה…" עכ"ל.

ודברי רבינו המהר"ל במתניתין דאבות משלימים את דבריו שהבאתים לעיל (מספר באר הגולה) כפתור ופרח.

כיוון שכל התורה הקדושה היא סדר העולם ושורש כל הנמצאים כולם. וכל דברי חז"ל בחכמת הטבע ושאר חכמות מכוונים לשורשים הרוחניים של הפרטים והתופעות של החומר הגשמי (כלומר, שאחר "השתלשלותם" עד "תחתית עולם העשיה" נתעבו וקיבלו גם "ביטוי בגשמיות").

ואף בסוגיין נענה ונאמר. שרבותינו ז"ל כיוונו באומרם "הרוצה לידע צילו של דקל וכו…" לשורשים הרוחניים שבעולמות העליונים. ורק ממילא הוא שלאחר השתלשלותם מטה נתהווה "מציאות" של חוקים ותופעות טבע פיזיקליות של צל המותאמים לחישובי האלגברה והגיאומטריה.

ודי בדברים אלו לחזק את דעתנו וליבנו תמיד בכוחה של התורה הקדושה שהיא "סדר העולם" ובגדלותם של רבותינו ז"ל שכל רז לא אניס להו מכוחה של התורה הקדושה. ולמנוע מחשבות של הבל ושטות למען לא יפול הנופל ממנו חלילה…

להבדיל בין קודש לחול…אם תרצו לחשב את גובהו של דקל (X) באמצעות האקסל / גוגל שיטס כאשר ידועים גובה האדם, צילו של האדם וגובהו של האדם - תוכלו לעשות זאת בקלות רבה.

את אורך צילו של האדם יש להזין בתא C3.

את גובהו של האדם יש להזין בתא C4.

את אורך צילו של הדקל יש להזין בתא C5.

החישוב לצילו של הדקל מתבצע באופן אוטומטי באמצעות הנוסחה בתא C6.

קוד:

=C4*C5/C3

כפי שהסברתי לעיל (חלק ד), עבור הפתרון - יש לבצע "כפל בהצלבה" ולחלק במקדם המשתנה. זו בדיוק פעולת הנוסחה בתא C6.

והתוצאה במקרה שלנו - 10.8.

את היחס בין יחידות הצל S/s לבין יחידות הגובה H/h ניתן לייצג בשני פנים של מטבע אחת.

בתאים A12 & C12 יחס הדמיון הוא 1/6

ובתאים A19 & C19 יחס הדמיון הוא 6/1.

ושניהם אמת. הכול עניין של פרספקטיבה ותו לא…

תחשבו על זה!

התאים הנ"ל הוגדרו "בעיצוב תאים מותאם אישית" בפורמט "#/#". (עיין במאמר כאן על ההסבר והלוגיקה בפורמט זה).

ועד כאן לאקסל ולעולמן של הנוסחאות…

מקווה שנהניתם מהמסע המופלא לאורכו של מאמר זה…

והכי חשוב מהכול, שנקבע שוב ושוב בליבנו ודעתנו שהתורה הקדושה היא "סדר העולם" וממילא - דוק ותשכח דלית מידי דלא רמיזא באורייתא!

"בֶּן בַּג בַּג אוֹמֵר. הֲפֹךְ בָּהּ וַהֲפֹךְ בַּהּ, דְּכֹלָּא בַּהּ.

וּבַהּ תֶּחֱזֵי, וְסִיב וּבְלֵה בַּהּ, וּמִנַּהּ לָא תְּזוּעַ,

שֶׁאֵין לְךָ מִדָּה טוֹבָה הֵימֶנָּה".

לינק לגיליון שיטס הכולל סימולציה לחישוב גובהו של דקל שנתבאר בתלמוד (מסכת עירובין דף מ"ג עמוד ב') - מצורף כאן.