הנושאים החמים
תמונת מקור - Leonardo AI
בּספר יצירה (פרק ד' משנה י"ב) המיוחס לאברהם אבינו ע"ה איתא:
"שבע כפולות כיצד צרפן?
שבע כפולות דהיינו אותיות בג"ד כפר"ת והטעם לכינוי שלהן - כפולות נתבאר בריש פרק ד':
"שבע כפולות בג"ד כפר"ת מתנהגות בשתי לשונות…ומתנהגות בשתי לשונות ב"בּ ג"גּ ד"דּ כ"כּ פ"פּ ר"רּ ת"תּ, רך וקשה, גבור וחלש…"
והיינו שלאותיות אלו ישנן שתי צורות ביטוי - רפה ודגושה.
שתי אבנים בונות שני בתים. שלש בונות ששה בתים. ארבע בונות ארבעה ועשרים בתים. חמש בונות מאה ועשרים בתים. שש בונות שבע מאות ועשרים בתים. שבע בונות חמשת אלפים וארבעים בתים. מכאן ואילך צא וחשוב מה שאין הפה יכול לדבר ואין האוזן יכולה לשמוע.
ופירש רבינו הראב"ד ז"ל (בפירושו על ספר יצירה):
"פירוש אבנים אותיות, וכן נאמר בתוך אבני אש התהלכת שפירוש מלאכים. וכתיב משם רועה אבן ישראל, ונקראו האותיות אבן כי בערך שהאבן נחצב מסלע כן האותיות נחקקו ונחצבו משם ה' סלעי וצורי. ולפי שהבתים והעיירות נבנים מאבנים לפיכך נקרא בנין אבנים בתים. ובלי ספק שיש לו כתלים ותקרה ומעזיבה שביארנו לעיל.
ולפי שכל הבריות הם כעין בתים כי האדם כתליו הצלעות ופנימיותו חלל גופו כעין בית. וכן הראש חלל שבראשו כעין בית וכן בכל חי וכן בכל דומם אע"פ שנראה לך שהוא אטום אינו כן אלא בתים יש לו, וכן בכל צומח וכן העולם בכללו וכן בכוכבים וכן באותיות וכן בי' ספירות".
ואלו הן שבעה כוכבים בעולם חמה נוגה כוכב לבנה שבתאי צדק מאדים. ואלו הן ז' ימים בשנה שבעה ימי בראשית. ושבעה שערים בנפש שתי עינים שתי אזנים ושני נקבי האף והפה. ובהן נחקקו שבעה רקיעים ושבע ארצות ושבע שעות. לפיכך חבב שביעי לכל חפץ תחת השמים".
עכ"ל ספר יצירה.
וזהו הלשון בפירוש אוצר ה' לרבי משה הגולה מקיוב ז"ל:
"אמר המחבר, הנה בזה הדרך הצירוף יתגלגל עד לאין תכלית. רק שמור התנאים אשר אתה רואה באלה וכך יהיה הכלל בידך.
כאשר תרצה לידע הצירוף משלשה אבנים כמה עולה כפלהו במספר הבתים הקודם והעולה הוא מספר הצירוף ההוא. המשל בזה רצינו לדעת צירוף שלשה אבנים כפלנום בשתי אבנים הקודמים ועלו ששה, ידענו מזה כי שלשה אבנים יבנו ששה בתים.
המשל הב' בזה רצינו לדעת צירוף ארבעה אבנים כפלנו ארבעה בששה בתים הקודמים ויעלו כ"ד, מזה ידענו כי ארבעה אבנים יבנו כ"ד בתים וכן השאר…
הנך רואה שמי"ב אבנים יעשו חשבון שאין האדם יכול לבטאו בשפתיים (479001600) וזה שאמר מכאן ולהלאה צא וחשוב שאין הפה יכול לאומרו וכו'.
ואשר נתן חשבון בעל ספר יצירה עד חמשת אלפים וארבעים בתים לפי שהוא מדבר בבג"ד כפר"ת והן שבעה אותית בצירופן יעלו חמשת אלפים ומ' בתים, ודע זה והבינהו…" עכ"ל.
להבדיל בין קודש לחול…במתמטיקה המודרנית, לפעולה המתמטית הזו יש שֵׁם. קוראים לה - עֲצֶרֶת, והיא מסומלת ומסומנת בסימן קריאה כזה - !
עצרת (באנגלית Factorial) היא "פונקציה" מתמטית המוגדרת עבור מספרים טבעיים אי שליליים. ומהותה היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ 1 ועד לאותו מספר n.
הגדרתה המתמטית של העצרת היא:
n! = 1 × 2 × 3 … × n
לדוגמה:
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
לציון העצרת שימש בעבר הסימון
את סימן העצרת (!) במתמטיקה הציג לראשונה המתמטיקאי הצרפתי כריסטיאן קראמפ (Christian Kramp) בספרו (משנת 1808), "Élémens d'arithmétique universelle" (יסודות האריתמטיקה האוניברסלית).
מקובלת הדעה כי קראמפ בחר בסימן זה כיוון שמצא אותו נוח יותר לדפוס ולכתיבה מאשר סימונים אחרים שהיו נהוגים באותה תקופה.
ישנן דעות כי הסיבה לכך היא שיהיה "אות אזהרה" בסימן קריאה להורות שיש כאן "עסק" עם מספרים בעלי "קצב גידול" מהיר במיוחד.
אחת התוצאות המפתיעות והמעניינות ביותר במתמטיקה היא שערכו של "אפס עצרת", המסומן כ-0!, אינו אפס כפי שניתן היה לשער, אלא אחד.
1 = !0
ואם תהיתם מהו ההיגיון? הנה כמה סיבות לכך:
סיבה ראשונה:
סיבה שנייה:
סיבה שלישית:
נפלא מאוד!
פונקציית העצרת היא כלי מתמטי בסיסי ורב-תכליתי, המשמש במגוון רחב של תחומים בתוך המתמטיקה ומחוצה לה. השימושים העיקריים כוללים - קומבינטוריקה, הסתברות וסטטיסטיקה, אנליזה מתמטית ומדעי המחשב.
ובחזרה לחשבון בספר יצירה - זהו חשבון שקשור לתחום המכונה כיום קומבינטוריקה (תורת המספרים).
ואם "נתרגם" את דברי ספר יצירה לנוסחאות מתמטיות מודרניות זה יראה כך:
שתי אבנים בונות שני בתים.
2! = 1 × 2 = 2
שלש בונות ששה בתים.
3! = 1 × 2 × 3 = 6
ארבע בונות ארבעה ועשרים בתים.
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
חמש בונות מאה ועשרים בתים.
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
שש בונות שבע מאות ועשרים בתים.
6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720
שבע בונות חמשת אלפים וארבעים בתים
7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040
וספר יצירה ממשיך ואומר "מכאן ואילך צא וחשוב מה שאין הפה יכול לדבר ואין האוזן יכולה לשמוע".
אכן, המספרים הם כל כך ע-צ-ו-מ-י-ם שאין לתאר ואין לדמיין כלל וכלל…!
רק לשבר את אוזניכם…אם תנסו לחשב עצרת במחשבונים מדעיים (בעזרת הקלדת המספר - n. ולאחר מכן לחיצה על מקש SHIFT ועל מקש X בחזקת 1- )
תגלו כי ישנה מגבלה לחישוב עד !69 ועד בכלל. מכיון שהתוצאה של !70 כבר גדולה מזו שהמחשבון יכול להציג (בדרך כלל מדובר בסביבות 10 בחזקת 100 המכונה "גוּגוֹל")
באקסל / שיטס ובתוכנות "סטנדרטיות" המגבלה היא !170 ועד בכלל.
זו התוצאה המלאה עבור !170 והיא מכילה 307 ספרות!!!
7257415615307998967396728211129263114716991681296451376543577798900561843401706157852350749242617459511490991237838520776666022565442753025328900773207510902400430280058295603966612599658257104398558294257568966313439612262571094946806711205568880457193340212661452800000000000000000000000000000000000000000
חישוב של !171 יניב בדרך כלל את התוצאה - אינסוף (Infinity). באקסל / שיטס תתקבל שגיאת NUM.
כאשר משתמשים בתוכנות מתמטיות מתקדמות או בשפות תכנות התומכות במספרים שלמים ארוכים (כמו Python או Wolfram Alpha), תיאורתית - ניתן לחשב עצרות של מספרים גדולים מאוד, כמעט ללא הגבלה, למעט מגבלות הזיכרון הפיזי של המחשב והזמן שלוקח לבצע את החישוב.
ברשת, ניתן למצוא אתרים חינמיים שונים לחישוב העצרת (פקטוריאל).
באתר הזה למשל מגבלת החישוב היא עד המספר -n עשרת אלפים (10000) ועד בכלל.
כך או כך. מדובר כאן בפונקציה עם "גידול מהיר" במיוחד שתוצאותיה הן מספרים עצומים ואסטרונומיים.
"מכאן ואילך צא וחשוב מה שאין הפה יכול לדבר ואין האוזן יכולה לשמוע".
כעת, בואו תראו איך הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות…
ובכן, אם שאלתם את עצמכם האם ניתן לחשב עצרת של מספר - n כלשהו בעזרת פונקציות האקסל / שיטס?
התשובה היא - כן!
לפניכם צילום מסך מתוך הגיליון המצורף בלינק להלן:
פתרון 1:
תכירו, זו פונקציית fact!
שמה של פונקציה זו נגזר מהמילה Factorial באנגלית שתרגומה בעברית הוא - עצרת.
לפונקציה זו ארגומנט בודד number ובו יש להזין את המספר שנרצה לחשב את העצרת שלו !n
למרבה ההפתעה, פונקציה זו מובנית באקסל / שיטס - מה שהופך את החישוב לכל כך נוח ופשוט.
זו מבנה הפונקציה בתא B3:
קוד:
=FACT(A3)כאמור לעיל, פונקציית העצרת היא עבור מספרים טבעיים אי שליליים. זו הסיבה שאם תנסו להזין (בארגומנט הפונקציה) מספר שלילי כמו 1- תקבלו שגיאת NUM.
פתרון 2:
אם תרצו דרך נוספת לחישוב העצרת - אין זו אגדה…
זו מבנה הפונקציות בתא C3:
קוד:
=IF(A3=0,1,PRODUCT(SEQUENCE(A3)))הרעיון פה הוא די פשוט הבנה…
פונקציית sequence שאתם מכירים אותה היטב יוצרת מערך של "סדרת" מספרים המתחיל במספר 1 (כברירת מחדל אא"כ הוזן אחרת בארגומנט השלישי) ובדילוג של מספר 1 בכל פעם (כברירת מחדל אא"כ הוזן אחרת בארגומנט הרביעי).
לאחר מכן, פונקציית product (הזכרתי אותה בעבר מספר פעמים. ובקצרה, תפקידה לבצע פעולת כפל בין "האיברים" שהוזנו בארגומנטים שבה) מבצעת מכפלה בין האיברים ומחזירה את התוצאה.
זהו זה! זהו כל הסיפור!
במקרה בו הוזן בארגומנט הפונקציה (sequence) המספר 0 - תוחזר שגיאת NUM. מהסיבה שלא ניתן להחזיר ערך / ים בתא / טווח של 0 תאים (תוצאה של 0 שורות). זה פשוט לא מציאותי!
לכל ערך יש "בית ומקום" קרי תא אקסל / שיטס ולכל תא יש שם קרי מספר העמודה ומספר השורה…
זו הסיבה שהוספתי כאן את פונקציית if העוטפת את הפונקציות sequence & product עם "הוראה" לפונקציה שבמקרה ש - n הוא אפס יש להחזיר 1.
אכן אפס עצרת (!n) שווה 1 כפי שביארתי לעיל בהרחבה.
נפלא וגאוני!
ועד כאן לאקסל ולעולמן של הפונקציות.
מקווה שנהניתם…
לינק לגיליון שיטס הכולל 2 דרכים לחישוב עצרת באמצעות פונקציות האקסל / גוגל שיטס - מצורף כאן.
- Next article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 81 ▪︎ כמה מילים על משולש פַּסְקָל, מקדם בִּינוֹמִי, נוסחת הַבִּינוֹם של ניוטון ומה שביניהם ▪︎ ועוד כמה מילים על פונקציית COMBIN הנפלאה
- Previous article in the series 'אקסלומדע'ס': אקסלומדע'ס פרק 79 ▪︎ כך תְּאַתְּרוּ שורות כפולות באקסל ובגוגל שיטס באמצעות פונקציות COUNTIF & COUNTIFS
