רבותי-חברי הפורום היקרים ,היום נמשיך ונלמד עוד מנפלאותיה וגאונותה של הפונקצייה SEQUENCE שכתבתי עליה בעבר
(כאן- https://www.prog.co.il/threads/רוצה-לעזור-לכם-באקסל.499341/post-13134038
וכאן- https://www.prog.co.il/threads/רוצה-לעזור-לכם-באקסל.499341/post-13167983
וכאן- https://www.prog.co.il/threads/רוצה-לעזור-לכם-באקסל.499341/post-13179048)
והפעם בכל הקשור לחישוב "
טור חשבוני"
כדרכינו.תחילה אפתח במילי דאורייתא:
א.בתלמוד בבלי מסכת שבת דף כ"א ע"ב לגבי נר חנוכה כתוב "והמהדרין מן המהדרין ב"ש אומרים יום ראשון מדליק שמנה מכאן ואילך פוחת והולך וב"ה אומרים יום ראשון מדליק אחת מכאן ואילך מוסיף והולך. אמר עולא... חד אמר טעמא דב"ש כנגד ימים הנכנסין וטעמא דב"ה כנגד ימים היוצאין וחד אמר
טעמא דב"ש כנגד פרי החג וטעמא דבית הלל דמעלין בקדש ואין מורידין"
ההלכה נפסקה כידוע כמו בית הלל.
ב.בתלמוד בבלי מסכת מנחות דף ק"ו ע"א אמרו רבותינו "תנו רבנן פירשתי מנחה וקבעתי בכלי אחד של עשרונים ואיני יודע מה פירשתי יביא מנחה של ששים עשרונים דברי חכמים רבי אומר יביא מנחות של עשרונים מאחד ועד ששים שהן אלף ושמונה מאות ושלשים"
מבלי להיכנס כעת לכל ביאור הסוגיה אתמקד בחשבון שהובא בדברי רבי והוא -1830.זהו למעשה חיבור של כל העשרונים(מידת עשירית האיפה) כאשר בכלי אחד עישרון אחד .ובכלי השני שני עשרונים וכו וכו עד 60 כלים, ובכלי ה60 מביא 60 עישרון בכלי אחד.(זהו הסכום המקסימלי שניתן "ליחיד" להביא עשרונים של מנחה בכלי אחד.והטעם מבואר במשנה מנחות פרק י"ב מ"ד " שכן ציבור מביא..שישים ואחד.דיו ליחיד שיהא פחות מן הציבור אחד" יעוין שם)
רבותינו בעלי התוספות שם מבארים את הדרך לחישוב סכום כל העשרונים למנין של 1830 וזה לשונם:
חשוב לציין כי ישנם דרכים נוספות לחישוב כאן.ראו בפירוש המלאכת שלמה (על המשנה שם) וכן בשיטה מקובצת (מנחות דף ק"ד ע"ב) .וצירפתים לקמן בקובץ pdf.
ולקמן אשוב לדברי התוספות הנזכרים.
וכעת ,להבדיל בין קודש לחול....אפתח במה שמסופר על זה שלימים הוגדר "מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים" -האסטרונום,הפיזיקאי והמתמטיקאי הגרמני
קארל פרידריך גאוס.
האגדה אומרת, שכאשר גאוס היה בבית הספר היסודי, המורה שלו התעצל ונתן לתלמידים את המשימה המייגעת של חישוב הסכום 100+...1+2+3 כלומר, סכום כל המספרים עד 100. הרעיון היה שהם יבלו חצי יום בעבודה טכנית מייגעת וחסרת כל טעם, והמורה ינוח(הפסקת קפה?עוגה?..). הבעיה היא שגאוס הקטן בא אל המורה תוך כמה דקות עם הפתרון. האם זה קרה בגלל שגאוס היה מחשבון אנושי? לא! בדיוק ההפך! גאוס המחיש בצורה הטובה ביותר את גישת
מתמטיקאים הם עצלנים. במקום לבצע את החישוב, הוא מצא “דרך קיצור” שנותנת לו את הסכום בלי שיצטרך לחשב את כולו במפורש.
הטריק של גאוס היה פשוט: הוא שם לב לכך שאם לוקחים את האיבר
הראשון בסכום (שהוא 1) ומחברים אותו לאיבר
האחרון בסכום (שהוא 100), מקבלים 101. זה בפני עצמו לא מרגש במיוחד, אבל העניין הוא שאותו מספר בדיוק מתקבל אם מחברים את האיבר
השני בסכום (שהוא 2) עם האיבר
הלפני אחרון בסכום (שהוא 99), וכן הלאה. בעצם, אומר גאוס, אפשר לחלק את כל המספרים בין 1 ל-100 לחמישים זוגות בדיוק, כך שהסכום של כל זוג הוא בדיוק 101:
(1,100),(2,99),(3,98),…
אם יש לנו בדיוק 50 זוגות, והסכום של כל אחד מהם הוא בדיוק 101, אז עברנו מביצוע 99 תרגילי חיבור לביצוע תרגיל כפל יחיד: 50×101=5050
במתמטיקה נהוג להבדיל בין טורים חשבונים סופים לטורים אינסופיים ויש עוד כמה קטיגוריות.אך כאמור אנו נתמקד בנוסחה לחישוב טור חשבוני
סופי.
אז לאחר ההסבר הקצר נראה איך "נראית" הנוסחא בניסוח מתמטי.(ישנה עוד נוסחא יותר מורכבת .אך זו הנוסחא היותר ידועה...)
אסביר בקצרה:
בחלק המונה- אנו מחברים את המספר(האיבר) ההתחלתי + המספר הסופי בסדרה ומכפילים בn.(במספרים המכונים במתמטיקה "טבעיים")
ואת כל זה מחלקים ב2.
זוכרים את השאלה שנשאל גאוס בבית הספר?
תראו כדוגמא את כל ההסבר הנ"ל בהצבה בנוסחא המתמטית
רבותי.היופי והגאונות בנוסחא כאן (על ידי הלוגיקה של הכפלת המונה ב2...)היא שניתן לבצע בה חישוב לכל טור חשבוני סופי
בין שס"ך האיברים הוא זוגי ובין שאינו זוגי.
תנסו להציב את הנוסחא לחישוב ממש פשוט של
1+2+3+4
או לחישוב 1+2+3 .ותראו עד כמה הנוסחא אמיתית וקולעת!
עכשיו אוסיף כאן עוד נקודה חשובה. ניתן להגיע לאותו פיתרון בעזרת טכניקה של חיבור של "זוגות" של סכום אחיד.כפי המוסבר לעיל בחישובו של "הילד" גאוס.וכאשר סכום האיברים אינו זוגי .לצרף את אותו איבר "הבודד" לחשבון.
וכך לוותר על החילוק ב2 בנוסחא שהבאתי.
(כעת זה מובן מה ענין החילוק ב2? זה פשוט "לפרק" את הזוגות שמתקבלים במונה...תחשבו על זה...)
כעת תחזרו ותלמדו את דברי בעלי התוספות שהבאתי לעיל מילה אחר מילה...החשבון נפלא ומדויק.
התוס' מבארים בדרך זו את החישוב לפרי החג שמניינם עולה ל70 (וכפי שאמרו חז"ל כנגד 70 אומות שמתמעטים והולכים וכו..).
אמרו חז"ל כי "חכמה בגויים תאמין"...גאוס שחי במאה 19 נחשב כמתמטיקאי שהגה וייסד את החישוב לטור חשבוני.
אך עינינו תחזינה איך להבדיל אלפי הבדלות... הקדימוהו כבר בעלי התוספות(לפני כ900 שנים) בחכמתם האלוקית ועומק עיונם וכתבו את החשבון לכך בקיצור נמרץ...
"הפוך בה והפוך בה דכולא בה..."!!!
אם נחזור כעת לדברי הש"ס בנר חנוכה.אז כולנו יודעים שס"ך מנין הנרות בחנוכה (כולל נרות ההידור) הוא 44.(ונאמרו בזה רמזים רבים ונפלאים)
מעניין מאוד שאחד הטעמים שמובא לשיטת בית שמאי שהוא "כנגד פרי החג" .ולפי דרכינו הנ"ל "אין דברי רבותינו ז"ל יוצאים מידי פשוטם"...והאנלוגיה בינהם
כי שיטת החישוב למנין שניהם היא אחת וכפי שהסבירו בעלי התוס' בסוגיא במנחות.נפלא מאוד!
(צירפתי כאן בpdf את דברי המהרש"א בסוגיא שם במסכת שבת כדאי מאוד ללמוד את ביאורו המאיר והנפלא...איך דברי בית שמאי קשורים לתירוץ הראשון של הב"י לקושייתו הידועה)
וכאן הבן שואל,איך כל הנ"ל קשור לאקסל ולעולמן של הפונקציות?
אז תראו .את פונקציית
sequence אתם כבר מכירים...ובכן,אם רק "נעטוף" אותה בפונקציית
sum יהיה ניתן לבצע חישוב לכל טור מספרי ...(לפחות כזה שהוא "סופי")וכמובן לכל הדוגמאות שהובאו לעיל.
תראו בצילום מסך לקמן איך כל החישובים המורכבים שהסברתי והארכתי בהם לעיל,הכל מבוצע תוך כדי לחיצת כפתור אחת כאשר רק נמלא את הערכים הנכונים בארגומנטים של הפונקצייה.
הכי קצר וקולע!הכי נפלא וקסום!
הזכרתי לעיל ששפת המתמטיקה היא "לעצלנים" (בהומור כמובן...) אז פונקציית sequence היא ההוכחה "לגאונות שבפשטות" של האקסל.
לסיום .המסרים שיש לנו מכל הנ"ל.
א.ראינו כאן איך "הפוך בה והפוך בה דכולא בה" ואיך כל דברי רבותינו ז"ל בחכמתם ועומק עיונם- משפטי אמת צדקו יחדיו...
ב.אם האדם יחשוב על אודות ימיו ושנותיו בעולם הזה.אז נכון שכלפי שמיא וגם כלפי האדם(בתוך ליבו וברגע של אמת...) ניתן לצרף ולחשב את כל הימים יום ליום ושנה לשנה בכל אופן שינהג בהם האדם (לטוב או למוטב חלילה)
אך על האדם לשאוף שצירוף זה של כל ימיו ורגעיו יהיו "טור חשבוני" בבחינת "מוסיף ועולה" תמידי בעבודת ה' לחושבנא טבא שזהו המסר הרמוז בדברי בית הלל(והלכה כמותם).הקב"ה יסייענו לכך אמן.
מצורף כאן גיליון אקסל לראות את כל החשבונות מבפנים.
נהנתם? אשמח לשמוע מכם שאלות/הארות/הערות על האמור כאן לעיל.
הנושאים החמים
